Tapete de Sierpinski

Tapete de Sierpinski é uma figura plana desenvolvida pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski. As características desta figura atualmente são definidas como fractais, termo cunhado por Benoit Mandelbrot. O conjunto descrito pode ser expresso como a união de oito subconjuntos não congruentes e sobrepostos.^[1], cada um dos quais é congruente à contração do conjunto original pelo fator de 1/3. Possui autossimilaridade, iteração infinita e propriedades irregulares.^[2]

6 passos do Tapete de Sierpinski.

História

Nos séculos XIX e XX algumas formas geométricas com propriedades especiais foram estudadas. Em 1975, Benoit Mandelbrot denominou estas formas de fractais por possuírem a característica da autossimilaridade. Antes da definição apresentada de fractais, alguns objetos matemáticos já possuíam tais características, dentre eles o Conjunto de Cantor; a Curva de Peano; a Curva de Hilbert; a Curva de Koch; a Curva, o Triângulo e o Tapete de Sierpinski e o de Fatou e Julia. Estes objetos eram conhecidos como “demônios” e acreditava-se que não tinham grande valor científico. O fractais só se desenvolveram a partir de 1960 com a ajuda dos computadores. Sierpinski teve seu nome dado a uma das crateras da lua devido a sua grande reputação na década de 1920. Os seus famosos fractais, ou “monstros”, como eram conhecidos na época, são o Triângulo e o Tapete de Sierpinski.^[1]

Construção

A construção do Tapete de Sierpinski parte de uma figura de duas dimensões euclidianas chamado quadrado, subdivide-se este quadrado em nove partes onde remove-se a parte central, teremos então, oito pequenos quadrados, novamente com cada quadrado subdivide-se em nove partes, onde retira-se a parte central, este processo chamado de iteração pode ser repetido infinitamente:

construção recursiva do tapete de sierpinsky

• 
  inicio
• 
  iteração 1
• 
  iteração 2
• 
  iteração 3
• 
  iteração 4
• 
  iteração 5

Classificação

De acordo com o modo como é gerado, faz parte do grupo de fractais de sistema de funções iteradas e possui autossimilaridade exata, sendo idêntico em diferentes escalas.^[3]

Curiosidade

Este fractal possui uma curiosidade interessante, sua área tende ao valor zero, a cada iteração temos 8/9 da área anterior, com isso na segunda iteração temos 8/9×8/9, na terceira 8/9×8/9×8/9, esta multiplicação tende ao infinito, observando que temos um denominador maior que um numerador a área tende a diminuir até zero.^[4]

O cálculo da área vazada do Tapete de Sierpinki se dará pelo somatório das áreas dos quadrados para n iterações, obtidas através de uma série geométrica convergente.^[5].

A área do quadrado inicial é da pelo quadrado do seu lado l.

• A área do quadrado da 1ª iteração será um terço de seu lado ao quadrado.
• A área do quadrado da 2ª iteração será um nono de seu lado ao quadrado.
• A área do quadrado da 3ª iteração será um vinte sete avos de seu lado ao quadrado.

E assim, sucessivamente, conforme uma série geométrica convergente tendendo a zero.

iterações	números de quadrados retirados	área de um novo quadrado
o	1	l²/9
1	8	l²/81
2	64	l²/729
...	...	...
n	8^n	l²/((9.9)^n)

Tabela do Cálculo da área do Tapete de Sierpinski após as iterações.^[6]

Para obtermos a soma de um série geométrica^[7] utilizamos: S = a/(1 - r), onde a = 1/9 e r = 8/9.S = a/(1 - r) = (1/9)/(1 - 1/8) = 1.

Portanto a soma das áreas das n iterações do quadrado de Sierpinski resultam na mesma área do quadrado inicial. Isso quer dizer que, se pegarmos um quadrado e retirarmos os novos quadrados gerados pelas interações deste fractal, a área resultante seria zero.

Dimensão

Em relação a sua dimensão, como se trata de um objeto fractal tem valores que não pertencem ao Conjunto dos Números Naturais, ou seja, as dimensões conhecidas seguindo a Geometria Euclidiana são:

O Ponto com dimensão zero;
A Reta com dimensão 1;
O Plano com dimensão 2;
E os Sólidos com dimensão 3.

O Tapete de Sierpinski parte de uma figura plana, porém em sua iteração ocorre a "retirada" de partes, com isso sua dimensão fractal também conhecida como "Dimensão Hausdorff-Besicovitch" tem valor intermediário entre os valores da reta e do plano.

A dimensão (d) Hausdorff-Besicovitch é calculada por (log N)/(log L/n), onde N é o comprimento do segmento da iteração, L é o comprimento da linha e n é a divisão de partes de um lado de um quadrado. O valor para dimensão fractal para o Tapete de Sierpinski é aproximadamente 1,8928...^[8]

Referências

1. Antom,Howard.Álgebra Linear com Aplicações.Porto Alegre.Editora Bookman, 2010.
2. Janos, Michel.Geometria Fractal. Rio de Janeiro: Editora Ciencia Moderna Ltda, 2008.
3. "Geometria fractal: propriedades e características de fractais ideais." Rev. Bras. Ensino Fís. [online] 30 (2). ISSN 1806-1117. Visitado em 19/06/2015.
4. http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico5.php. Fractais e a geometria da natureza
5. Simmons, George F. "Cálculo com Geometria Analítica", vol.2, MCGraw-Hill, 1988.
6. http://www.facos.edu.br
7. Simmons, George G."Cálculo com Geometria Analítica", vol.2, MCGraw-Hill, 1988.
8. Estimativa da dimensão Fractal de figuras planas por meio de um software aplicando o método Box Counting