Supremo e ínfimo

Em matemática, definem-se os conceitos de majorante/cota superior, minorante/cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Embora estes conceitos estejam todos relacionados, são bem diferentes.

Na análise real, estes conceitos adquirem relevância desde a própria construção dos números reais e estão intimamente ligados à ideia de limite.

Definições

Seja ${\displaystyle S\,}$, um subconjunto de um conjunto ${\displaystyle P\,}$ parcialmente ordenado pela relação ${\displaystyle \leq \,}$.

• Um elemento ${\displaystyle M\in P\,}$ é dito majorante, limite superior ou cota superior de ${\displaystyle S\,}$ se:

${\displaystyle x\leq M,~~\forall x\in S}$

• Um elemento ${\displaystyle m\in P\,}$ é dito minorante, limite inferior ou cota inferior de ${\displaystyle S\,}$ se:

${\displaystyle m\leq x,~~\forall x\in S}$

• Um elemento ${\displaystyle s\in P\,}$ é dito supremo de ${\displaystyle S\,}$ se for o menor dos majorantes:

${\displaystyle x\leq s,~~\forall x\in S}$ e

${\displaystyle x\leq s',~~\forall x\in S\Rightarrow s\leq s'}$

• Um elemento ${\displaystyle i\in P\,}$ é dito ínfimo de ${\displaystyle S\,}$ se for o maior dos minorantes:

${\displaystyle i\leq x,~~\forall x\in S}$ e

${\displaystyle i'\leq x,~~\forall x\in S\Rightarrow i'\leq i}$

• Um majorante ${\displaystyle M\in P\,}$ é dito máximo de ${\displaystyle S\,}$ se ${\displaystyle M\in S\,}$.
• Um minorante ${\displaystyle m\in P\,}$ é dito mínimo de ${\displaystyle S\,}$ se ${\displaystyle m\in S\,}$.
• Se um conjunto tem majorante, diz-se que está limitado superiormente.
• Se um conjunto tem minorante, diz-se que está limitado inferiormente.

Notação

• Se um conjunto ${\displaystyle S\,}$ possui máximo, ele é denotado:

${\displaystyle \max S=\max _{x\in S}x}$

• Se um conjunto ${\displaystyle S\,}$ possui mínimo, ele é denotado:

${\displaystyle \min S=\min _{x\in S}x}$

• Se um conjunto ${\displaystyle S\,}$ possui supremo, ele é denotado:

${\displaystyle \sup S=\sup _{x\in S}x}$

• Se um conjunto ${\displaystyle S\,}$ possui ínfimo, ele é denotado:

${\displaystyle \inf S=\inf _{x\in S}x}$

Se ${\displaystyle f:S\to P\,}$ é uma função de um conjunto ${\displaystyle S\,}$ em um conjunto parcialmente ordenado ${\displaystyle P\,}$, então usa-se a notação:

${\displaystyle \sup f(S)=\sup _{x\in S}f(x)}$ e suas análogas.

Completude

Seja (A, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. A é dito completo se para todo conjunto B⊆A, B≠∅, se B tem majorante, então tem supremo.

Este conceito não deve ser confundido com a completude lógica nem com a completude de uma teoria axiomática, pois são conceitos diferentes.

Exemplos

• O intervalo fechado ${\displaystyle \left[0,1\right]=\left\{x\in \mathbb {R}$ :\;0\leq x\leq 1\right\}\,} possui um elemento mínimo ${\displaystyle 0}$ e máximo ${\displaystyle 1}$.
• O intervalo semi fechado ${\displaystyle \left[0,1\right)=\left[0,1\right[=\left\{x\in \mathbb {R}$ :\;0\leq x<1\right\}\,} possui um elemento mínimo ${\displaystyle 0}$, todo ${\displaystyle x\geq 1,x\in \mathbb {R} ,}$ é majorante do conjunto e seu supremo nos reais é o ${\displaystyle 1}$ que não pertence ao conjunto e, portanto, esse conjunto não tem máximo.
• ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2\right\}}$

Esse conjunto possui um supremo real, ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ e infinitas cotas superiores racionais. No entanto, não possui supremo nos números racionais. Portanto, o conjunto dos números racionais não é completo. Por outro lado, o conjunto dos números reais é completo.

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(A\right)}$, para um conjunto qualquer ${\displaystyle A}$ considerando a ordem parcial ampla inclusão, ${\displaystyle \subseteq }$

Esse conjunto tem mínimo ${\displaystyle \varnothing }$ e máximo ${\displaystyle A}$, segundo a ordem ${\displaystyle \subseteq }$.

Todo ${\displaystyle B\subseteq {\mathcal {P}}\!\left(A\right),B\neq \varnothing }$ tem supremo e ínfimo em ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(A\right)}$, segundo a ordem ${\displaystyle \subseteq }$.

Propriedades

• ${\displaystyle \inf S\leq \sup S\,}$, contanto que ambos existam.

Propriedades de monotonicidade:

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow \sup A\leq \sup B\,}$, contanto que ambos existam.
• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow \inf B\leq \inf A\,}$, contanto que ambos existam.

Propriedades algébricas:

• Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são conjuntos limitados e ${\displaystyle A+B=\{x+y:x\in A,y\in B\}}$ então

${\displaystyle \sup(A+B)=\sup A+\sup B}$ e ${\displaystyle \inf(A+B)=\inf A+\inf B}$.

• Se ${\displaystyle A}$ é um conjunto limitado e ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ então

${\displaystyle \sup(kA)={\begin{cases}k\sup A,&{\text{if }}k\geq 0,\\k\inf A,&{\text{if }}k<0,\end{cases}}}$ e ${\displaystyle \inf(kA)={\begin{cases}k\inf A,&{\text{se }}k\geq 0,\\k\sup A,&{\text{se }}k<0,\end{cases}}}$

onde ${\displaystyle kA=\{kx:x\in A\}.}$ (Ver Elon Lages Lima^[1]).

No conjunto de números reais

Ver artigo principal: axioma do supremo

• Todo conjunto não-vazio de números reais limitado superiormente possui um supremo.
• Todo conjunto não-vazio de números reais limitado inferiormente possui um ínfimo.

Considerando os reais estendidos, ${\displaystyle \mathbb {R} _{e}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$, podemos considerar:

• O supremo de um conjunto não limitado superiormente é definido como ${\displaystyle +\infty \,}$.
• O ínfimo de um conjunto não limitado inferiormente é definido como ${\displaystyle -\infty \,}$.
• Na notação de supremo, temos que uma função ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}$ é limitada se e somente se:

${\displaystyle \exists \sup _{x\in D}|f(x)|}$, ou, considerando os reais estendidos, ${\displaystyle \sup _{x\in D}|f(x)|<\infty }$

Supremo e ínfimo do conjunto vazio

Ainda considerando os números reais estendidos, por completeza e a fim de manter a monotonicidade, definem-se o supremo e o ínfimo do conjunto vazio (quando este é visto como um subconjunto dos reais):

• ${\displaystyle \sup \emptyset =-\infty \,}$
• ${\displaystyle \inf \emptyset =\infty \,}$

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Lista de Referências

1. Lima, Elon Lages (1987). Curso de Análise (vol. 1). Brasília: IMPA-Cnpq. pp. 243–245. ISBN 9-216-05138-8