Intervalo (matemática)

Em Matemática, um intervalo (real) é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados, podendo ou não conter os próprios extremos. Por exemplo: um conjunto cujos elementos são maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1 (isto é, 0 ≤ x ≤ 1, sendo x um elemento qualquer pertencente ao conjunto em questão) é um intervalo que contém os extremos 0 e 1, bem como todos os números reais entre eles. Outros exemplos de intervalos são o conjunto dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e o conjunto dos números reais negativos.

Representação geométrica de um exemplo de intervalo. Neste caso, tem-se que ${\displaystyle b>a}$, pois a reta real é orientada para a direita e, portanto, cresce nesse sentido. As "bolinhas vazias" nos extremos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ indicam que esses números não pertencem ao intervalo. Logo, qualquer número real menor ou igual a ${\displaystyle a}$ não pertence a esse intervalo, assim como qualquer número real maior ou igual a ${\displaystyle b}$.^[1]

Os extremos podem ser números reais como também podem ser ${\displaystyle -\infty }$ e ${\displaystyle +\infty }$. Existem divergências na literatura sobre se o conjunto vazio deveria ser ou não ser considerado um intervalo.^[2] Quando o conjunto vazio é considerado um intervalo, a família de intervalos é fechada sobre a operação de intersecção.^[2]

Representação

Notações comuns para representar intervalos são:^[3][4]

• ${\displaystyle (a,b)=]a,b[=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}$: intervalo aberto
• ${\displaystyle [a,b)=[a,b[=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}}$: intervalo semi-fechado ou semi-aberto
• ${\displaystyle (a,b]=]a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}}$: intervalo semi-aberto ou semi-fechado
• ${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$: intervalo fechado
• ${\displaystyle [a,+\infty )=[a,+\infty [=\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a\}}$: intervalo fechado
• ${\displaystyle (a,+\infty )=]a,+\infty [=\{x\in \mathbb {R} \mid x>a\}}$: intervalo aberto
• ${\displaystyle (-\infty ,a]=]-\infty ,a]=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq a\}}$: intervalo fechado
• ${\displaystyle (-\infty ,a)=]-\infty ,a[=\{x\in \mathbb {R} \mid x<a\}}$: intervalo aberto
• ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )=]-\infty ,+\infty [=\mathbb {R} }$: a reta toda é um intervalo aberto e fechado
• ${\displaystyle \emptyset }$: conjunto vazio, quando considerado um intervalo, é um intervalo aberto e fechado.

O intervalo [a,a]={a} é formado por um único elemento e chamado de intervalo degenerado.^[2][4]

Explicação

• ] ou ( → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo não está incluído.
• [ → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo está incluído.
• ] → No final da representação significa que o ponto do extremo direito está incluído.
• [ ou ) → No final da representação significa que o ponto do extremo direito não está incluído.
• ° → bolinha vazada significa que esse número está excluído.
• • → bolinha preenchida significa que ele está incluído.

Referências

1. Souza, Joamir Roberto de (2013). «1». Matemática. Col: Novo Olhar. 1 2 ed. São Paulo: FTD. p. 39;41. 320 páginas. ISBN 978-85-322-8520-1
2. Jaulin, Luc (2001). Applied Interval Analysis. [S.l.: s.n.] ISBN 1852332190
3. Gelbaum, B. R. & Olmsted J. M. H. (1964). Counterexamples in Analysis (em inglês). [S.l.]: Dover Publications, Inc.
4. Lages, Elon Lima (2012). Análise real volume 1 funções de uma variável 11 ed. Rio de Janeiro: IMPA. ISBN 9788524400483

Ligações externas

• «Centros de pesquisa de computação com intervalos» (em inglês)

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