Operador compacto

Na análise funcional, operadores compactos formam uma família de operadores lineares limitados entre espaços de Banach. Grosseiramente falando, a compacidade é critério mais restritivo que a continuidade, suficiente para que certas propriedades dos operadores de posto finito sejam válidas. Em espaços de Hilbert, pode-se mostrar que, de fato, operadores compactos são limites (na norma operacional) de operadores de posto finito.

A importância do estudo destes operadores surgiu basicamente do desenvolvimento de uma teoria espectral para os mesmos e da validade de uma versão da alternativa de Fredholm, mostrando que o problema ${\displaystyle \left(\lambda T+I\right)u=f\,}$ se comporta como em dimensão finita.

Definição

Sejam ${\displaystyle X\,}$ e ${\displaystyle Y\,}$ espaços de Banach e ${\displaystyle T:X\to Y\,}$ um operador linear. ${\displaystyle T\,}$ é dito operador linear compacto se a imagem de conjuntos limitados em ${\displaystyle X\,}$ é conjunto pré-compacto em ${\displaystyle Y\,}$, ou seja, se:

${\displaystyle {\overline {T(B)}}\,}$ é compacto, para todo ${\displaystyle B\,}$ limitado.

Equivalentemente, ${\displaystyle T\,}$ é compacto se para toda seqüência limitada ${\displaystyle x_{n}\,}$, existe uma subseqüência ${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ tal que ${\displaystyle Tx_{n_{k}}\,}$ é convergente.

Exemplo

Considere ${\displaystyle X=C^{1}[0,1]\,}$, o espaço das funções continuamente diferenciáveis no intervalo ${\displaystyle [0,1]\,}$ e ${\displaystyle Y=C^{0}[0,1]\,}$, o espaço das funções contínuas no mesmo intervalo; munidos das seguintes normas:

• ${\displaystyle \|f\|_{X}=\sup _{[0,1]}|f(x)|+\sup _{[0,1]}|f'(x)|\,}$
• ${\displaystyle \|f\|_{Y}=\sup _{[0,1]}|f(x)|\,}$

Considere, ainda, o operador linear ${\displaystyle T\,}$ como sendo a inclusão de ${\displaystyle X\,}$ em ${\displaystyle Y\,}$.

Se ${\displaystyle f_{n}\,}$ é uma seqüência limitada em ${\displaystyle X\,}$, então ${\displaystyle f_{n}\,}$ formam uma família equicontínua e equilimitada de funções definidas em um espaço compacto. Pelo teorema de Arzelà-Ascoli, existe uma seqüência ${\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty },}$ convergindo uniformemente para algum ponto limite. Como convergência uniforme é equivalente com convergência na norma do supremo, temos que a inclusão é um operador compacto.

Inclusão compacta

Seja ${\displaystyle X\subseteq Y\,}$ dois espaços de Banach, dizemos que ${\displaystyle X\,}$ está compactamente contido em ${\displaystyle Y\,}$ e escrevemos ${\displaystyle X\subset \subset Y\,}$ se a função inclusão ${\displaystyle I:X\to Y\,}$ é um operador compacto entre estes espaços.

Ver também

• Teorema de Hilbert-Schmidt

Bibliografia

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill