Alternativa de Fredholm

A alternativa de Fredholm, termo matemático decorrente de seu formulador Ivar Fredholm, é um dos teoremas de Fredholm e um resultado na teoria de Fredholm. A alternativa pode ser expressa de diversas formas: como um teorema da álgebra linear, um teorema das a equações integrais, ou ainda um teorema dos operadores de Fredholm. Uma parte dos resultados da alternativa estabelece que um número complexo não nulo no espectro de um operador compacto é um autovalor.

Álgebra Linear

Se V é um espaço vetorial n-dimensional e ${\displaystyle T:V\to V}$ é uma transformação linear, então exatamente uma das seguintes conclusões é satisfeita:

1. Para cada vetor v em V existe um vetor u em V tal que ${\displaystyle T(u)=v}$. Em outras palavras, T é uma transformação sobrejetiva.
2. ${\displaystyle \dim(\ker(T))>0}$.

Equações Integrais

Seja ${\displaystyle K(x,y)}$ um núcleo integral, e consideremos a equação homogênea, denominada equação integral de Fredholm,

${\displaystyle \lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=0}$

e a equação não-homogênea

${\displaystyle \lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x).}$

A alternativa de Fredholm estabelece que, para qualquer número complexo fixo não negativo ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$, ou a primeira equação tem uma solução não trivial, ou a segunda equação tem uma solução para todo ${\displaystyle f(x)}$.

Uma condição suficiente para a garantia deste teorema é que ${\displaystyle K(x,y)}$ seja quadraticamente integrável no retângulo ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$ (onde a e/ou b podem ser menos ou mais infinito).

Análise Funcional

Resultados obtidos com o operador de Fredholm generalizam os resultados aqui obtidos para espaços vetoriais de dimensão infinita, os espaços de Banach.

Correspondência

Livremente falando, a correspondência entre as versões baseadas na álgebra linear e em equações integrais é estabelecida a seguir. Seja

${\displaystyle T=\lambda -K}$

ou, em notação indicial,

${\displaystyle T(x,y)=\lambda \delta (x-y)-K(x,y)}$

sendo ${\displaystyle \delta (x-y)}$ a função generalizada Delta de Dirac. T pode ser interpretado como um operador linear atuando sobre um espaço de Banach V de funções ${\displaystyle \phi (x)}$, tal que

${\displaystyle T:V\to V}$

é dado por

${\displaystyle \phi \mapsto \psi }$

com ${\displaystyle \psi }$ dado por

${\displaystyle \psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\phi (y)\,dy}$ .

Nesta forma de expressão, a alternativa baseada em equações integrais podem ser vistas como correspondência à alternativa da álgebra linear.

Alternativa

Em termos mais precisos, a alternativa de Fredholm é aplicável somente quando K é um operador compacto. Da teoria de Fredholm, núcleos integrais contínuos são operadores compactos. A alternativa de Fredholm pode ser reformulada da seguinte forma: um ${\displaystyle \lambda }$ não nulo é ou um autovalor de K, ou pertence ao domínio do resolvente

${\displaystyle R(\lambda ;K)=(K-\lambda \operatorname {Id} )^{-1}.}$

Bibliografia

• E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math. , 27 (1903) pp. 365–390.
• A. G. Ramm, "A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators", American Mathematical Monthly, 108 (2001) p. 855.
• «Teoremas de Fredholm» (em inglês)
• «Alternativas de Fredholm» (em inglês)