Número de Prandtl

O número de Prandtl Pr é um número adimensional que aproxima a razão de difusividade de momento (viscosidade cinemática) e difusividade térmica de um fluido, expressando a relação entre a difusão de quantidade de movimento e a difusão de quantidade de calor dentro do próprio fluido, sendo uma medida da eficiência destas transferências nas camadas limites hidrodinâmica e térmica. É um número adimensional importante para o estudo dos processos de transferência de calor por convecção. É nomeado em homenagem ao físico alemão Ludwig Prandtl.

Em problemas de transferência de calor, o número de Prandtl controla a espessura relativa das camadas limite de momento e térmica. Quando Pr é pequeno, significa que o calor difunde-se muito facilmente comparado à velocidade (momento).

O análogo para a transferência de massa do número de Prandtl é o número de Schmidt.

Definição física

É definido como:

${\displaystyle \mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {\mbox{taxa difusao viscosa}}{\mbox{taxa de difusao termica}}}={\frac {c_{p}\mu }{k}}}$

onde:

• ${\displaystyle \nu }$ : viscosidade cinemática, ${\displaystyle \nu =\mu /\rho }$, (em unidades do SI : m²/s)
• ${\displaystyle \alpha }$ : difusividade térmica, ${\displaystyle \alpha =k/(\rho c_{p})}$, (unidades do SI : m²/s)
• ${\displaystyle \mu }$ : viscosidade dinâmica, (unidades do SI : Pa s)
• ${\displaystyle k}$: condutividade térmica, (unidades do SI : W/(m K) )
• ${\displaystyle c_{p}}$ : calor específico, (unidades do SI : J/(kg K) )
• ${\displaystyle \rho }$ : densidade, (unidades do SI : kg/m³ ).

Note-se que, enquanto o número de Reynolds e o número de Grashof são subscritos com uma escala de comprimento variável, o número de Prandtl não contém qualquer escala de comprimento na sua definição e depende apenas do fluido e do estado do fluido. Como tal, o número de Prandtl é frequentemente encontrado em tabelas de propriedades ao lado de outras propriedades, como viscosidade e condutividade térmica.

Uma definição mais sofisticada pode ser feita como sendo Pr aproximadamente a razão do escoamento de entalpia pela condução de calor multiplicada pela razão entre forças viscosas e forças de inércia, o que indica claramente acoplamento entre as equações que expressam a quantidade de movimento e a de energia, pois se há um escoamento (velocidade), também há transporte de entalpia (um forma de energia).^[1]

${\displaystyle \mathrm {Pr} \approx {\frac {\mbox{escoamento de entalpia}}{\mbox{conducao de calor}}}.{\frac {\mbox{forcas viscosas}}{\mbox{forcas de inercia}}}}$

Valores

Valores característicos do número de Prandtl
Metais líquidos
Sódio	0.011
Mercúrio	0.0196
Bismuto	0.0142
Gases
Ar	0.70
Dióxido de carbono	0.75
Monóxido de carbono	0.73
Hélio	0.68
Hidrogênio	0.70
Outros líquidos
Água	4.6
Fluidos viscosos
Óleo lubrificante de motor	3400
Glicerina	3060

Valores típicos para ${\displaystyle \mathrm {Pr} }$ são:

• aproximadamente 0,015 para mercúrio
• aproximadamente 0,16-0,7 para misturas de gases nobres ou gases nobres com o hidrogênio
• aproximadamente 0,7-0,8 para ar e muitos outros gases,
• entre 4 e 5 para fluido refrigerante R-12
• aproximadamente 7 para água (a 20 graus Celsius)
• entre 100 e 40.000 para óleo de motor
• aproximadamente 10²⁵ para o manto da Terra (rheid).

Para gases, o número de Prandtl é da ordem da unidade, significando que são comparáveis a difusão de momento e de energia. Misturas de hélio com argônio, criptônio e xenônio, assim como o hélio puro propiciam número de Prandtl variando entre 0,2 a 0,67. Estas misturas são usadas em sistemas de refrigeração por efeito termoacústico, sendo que os resultados teóricos e experimentais apontam que o coeficiente de performance aumenta à medida que se diminui o número de Prandtl.^[2][3]

Para o mercúrio (assim como os metais fundidos), por ser um metal líquido, altamente condutor de calor, a condução térmica é muito efetiva comparada à convecção: a difusividade térmica é dominante (Pr << 1), significando que a espessura da camada limite térmica é muito maior que a camada limite de velocidade.

Para óleo lubrificante de motor, predominantemente um hidrocarboneto, relativamente um isolante térmico, a convecção é muito efetiva em conduzir energia de uma área, comparada a condução pura: a difusividade de momento é dominante, o que é associado ao aumento da espessura das camadas limites hidrodinâmica e térmica (Pr >> 1).

Ver também

• Número de Prandtl turbulento
• Número de Prandtl magnético
• Rheid, termo para um material sólido que deforma-se por fluxo viscoso, como o manto terrestre.

Referências

1. Washington Braga Filho; Convecção Arquivado em 31 de janeiro de 2003, no Wayback Machine.; DEM, PUC-Rio - wwwusers.rdc.puc-rio.br
2. Rafael Sartori e João Pimenta; [ ANALISE TEÓRICA E AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DE UM REFRIGERADOR TERMOACÚSTICO GUIADA POR UM ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO]; Brasília: Universidade de Brasília, 2005. 10 p.
3. Wetzel, M. and Herman, C., 1997, Design optimazation of thermoacoustic refrigerators, Elsevier Science Ltd and IIR, V.20, N°1, pp. 3-21.

• Viscous Fluid Flow, F. M. White, McGraw-Hill, 3rd. Ed, 2006

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