Método de Schulze

O método Schulze^[a] é um sistema de votação desenvolvido em 1997 por Markus Schulze para selecionar um único vencedor usando votos que expressam preferências. O método pode também ser usado para criar listas ordenadas de vencedores. O método Schulze é um método de Condorcet, ou seja, se há um candidato que é preferido a todo outro candidato em comparações emparelhadas, então este candidato será o vencedor. Atualmente, é o método Condorcet mais disseminado. Ele é usado por diversas organizações, como a Wikimedia, Debian, Gentoo e Software in the Public Interest.

O resultado do método Schulze dá uma ordenação de candidatos. Portanto, se vários cargos estão disponíveis, o método pode ser utilizado para este propósito sem passar por nenhuma modificação, deixando os candidatos melhor classificados k ganhar as vagas disponíveis k. Além disso, foi proposta uma variação de voto individual transferível para eleições de representação proporcional.

Descrição do método

Cédula eleitoral

A entrada do método Schulze é a mesma utilizadas por outros métodos eletivos preferenciais de único vencedor: cada eleitor deve fornecer uma lista ordenada de preferencias sobre candidatos que permitem empates.

Uma maneira típica para que os eleitores especifiquem suas preferências em uma cédula eleitoral (veja a esquerda) é através do seguinte; cada cédula lista todos os candidatos, e cada eleitor ordena sua lista na ordem de sua preferência através de números: o eleitor preenche '1' ao lado do(s) candidato(s) que mais prefere, um '2' ao lado do(s) segundo(s) mais preferidos, e assim sucessivamente. Cada eleitor pode opcionalmente

• dar mesma preferência para mais de um candidato, indicando que o eleitor é indiferente entre tais candidatos.
• utilizar números não sucessivos para expressar preferências, sem qualquer impacto no resultado das eleições, visto que apenas a ordem na qual os candidatos são ordenados importa, e não os números absolutos das preferências.
• manter todos os candidatos sem ordem. Quando um eleitor não ordena todos os candidatos, então é interpretado como se o eleitor (i) prefere estritamente todos os candidatos ordenados a todos os candidatos não ordenados, bem como (ii) é indiferente entre todos os candidatos não ordenados.

Método Schulze

Defina d[V,W] como o número de eleitores que preferem o candidato V ao candidato W.

Um trajeto do candidato X ao candidato Y de força p é um sequência de candidatos C(1),...,C(n) com as seguintes propriedades:

1. C(1) = X e C(n) = Y.
2. Para todo i = 1,...,(n-1): d[C(i),C(i+1)] > d[C(i+1),C(i)].
3. Para todo i = 1,...,(n-1): d[C(i),C(i+1)] ≥ p.

p[A,B], a força do trajeto mais forte do candidato A ao candidato B, é o valor máximo tal que não há nenhum trajeto do candidato A para o candidato B dessa força. Se não há absolutamente nenhum trajeto do candidato A ao candidato B, então p[A,B] = 0.

O candidato D é melhor do que o candidato E se e somente se p[D,E] > p[E,D].

O candidate D é um vencedor em potencial se e somente se p[D,E] ≥ p[E,D] para cada outro candidato E.

Pode ser provado que p[X,Y] > p[Y,X] e p[Y,Z] > p[Z,Y] conjuntamente implicam p[X,Z] > p[Z,X].^[1]:§4.1 Logo, é garantido (1) que a definição acima de "melhor" realmente define uma relação transitiva e (2) que sempre há pelo menos um candidato D com p[D,E] ≥ p[E,D] para cada outro candidato E.

Exemplo Lakehead vs. Thunder Bay

O novo nome da cidade fusão entre Fort William e Port Arthur foi determinado por um plebiscito. A cédula continha três possibilidades, "Thunder Bay" obteve 15.870, "Lakehead" 15.302, e "The Lakehead" 8.377 votos. Os votos divididos entre os clones (ex. bem similares) "Lakehead" e "The Lakehead", e Thunder Bay ganharam.

Usando o método Schulze uma ordenação foi aplicada e Lakehead teria ganhado.

Para ilustrar melhor, nós acompanhando a seguinte votação provável:

15.870 Thunder Bay - Lakehead - The Lakehead

15.302 Lakehead - The Lakehead - Thunder Bay

8.377 The Lakehead - Lakehead - Thunder Bay

Matriz Emparelhada

Uma tabela que compara cada candidato com cada outro. Os campos vermelhos conseguem chegar ao próximo passo. Por exemplo candidato "Lakehead" teria sigo preferido com 23000 votos contra "Thunder Bay".

	d[*,Thunder Bay]	d[*,Lakehead]	d[*,The Lakehead]
d[Thunder Bay,*]		15870	15870
d[Lakehead,*]	23679		15302
d[The Lakehead,*]	23679	8377

Gráfico Emparelhado

Este aqui precisa ser desenhado ... mas ele contém os seguintes trajetos usando os campos vermelhos acima:

• Thunder Bay --(23679)--> The Lakehead
• Lakehead --(15302)--> The Lakehead
• Lakehead --(23679)--> Thunder Bay

Os Trajetos Mais Fortes de Todos

• De Thunder Bay para The Lakehead há apenas um trajeto direto, com 23679.
• De Lakehead para Thunder Bay há apenas um trajeto via The Lakehead. Ambas ligações têm uma força de 23679, então a ligação mais fraca é 23679. Não há outro trajeto com uma ligação mais fraca o qual seria mais forte.
• De Lakehead para The Lakehead há apenas um trajeto direto com 15302.

A ligação mais fraca dos trajetos mais fortes

	d[*,Thunder Bay]	d[*,Lakehead]	d[*,The Lakehead]
d[Thunder Bay,*]		0	23679
d[Lakehead,*]	23679		15302
d[The Lakehead,*]	0	0

Resultado

Lakehead vence Thunder Bay e The Lakehead, enquanto Thunder Bay apenas vence The Lakehead. The Lakehead não vence ninguém. O vencedor é Lakehead.

Exemplo

Considere o seguinte exemplo, no qual 45 eleitores ordenam 5 candidatos.

• 5 ACBED (significando, 5 eleitores têm ordem de preferência: A > C > B > E > D)
• 5 ADECB
• 8 BEDAC
• 3 CABED
• 7 CAEBD
• 2 CBADE
• 7 DCEBA
• 8 EBADC

Primeiro, nós calculamos as preferências emparelhadas. Por exemplo, ao comparar A e B emparelhados, há 5+5+3+7=20 eleitores que preferem A em relação a B, e 8+2+7+8=25 eleitores que preferem B em relação a A. Então d[A, B] = 20 e d[B, A] = 25. O conjunto total das preferência emparelhadas é:

Gráfico orientado rotulado com preferências emparelhadas d[*, *]

Matriz de preferências emparelhadas

	d[*,A]	d[*,B]	d[*,C]	d[*,D]	d[*,E]
d[A,*]		20	26	30	22
d[B,*]	25		16	33	18
d[C,*]	19	29		17	24
d[D,*]	15	12	28		14
d[E,*]	23	27	21	31

Para ajudar a visualizar os trajetos mais fortes, o diagrama no lado direito mostra uma seta de A a B com rótulo d[A, B], no estilo de um gráfico orientado. (Para evitar tumultuar o diagrama nós só desenhados d[A, B] quando d[A, B] representa a maioria dos eleitores, o que parece não afetar o resultado neste caso.)

Lembre que força de um trajeto é a força de sua ligação mais fraca. Um exemplo de calcular o trajeto mais forte é p[B, D] = 33: o trajeto mais forte de B a D é o trajeto direto (B, D) que possui força 33. Para contraste, vamos também calcular p[A, C]. O trajeto mais forte de A a C não é o trajeto direto (A, C) de força 26, mas o trajeto mais forte é o trajeto indireto (A, D, C) que possui força min(30, 28) = 28.

Para cada par de candidatos X e Y, a seguinte tabela mostra o trajeto mais forte do candidato X ao candidato Y em vermelho, com a ligação mais fraca sublinhada.

Trajetos mais fortes

	... para A	... para B	... para C	... para D	... para E
de A ...		A-(30)-D-(28)-C-(29)-B	A-(30)-D-(28)-C	A-(30)-D	A-(30)-D-(28)-C-(24)-E	de A ...
de B ...	B-(25)-A		B-(33)-D-(28)-C	B-(33)-D	B-(33)-D-(28)-C-(24)-E	de B ...
de C ...	C-(29)-B-(25)-A	C-(29)-B		C-(29)-B-(33)-D	C-(24)-E	de C ...
de D ...	D-(28)-C-(29)-B-(25)-A	D-(28)-C-(29)-B	D-(28)-C		D-(28)-C-(24)-E	de D ...
de E ...	E-(31)-D-(28)-C-(29)-B-(25)-A	E-(31)-D-(28)-C-(29)-B	E-(31)-D-(28)-C	E-(31)-D		de E ...
	... para A	... para B	... para C	... para D	... para E

Forças dos trajetos mais fortes

	p[*,A]	p[*,B]	p[*,C]	p[*,D]	p[*,E]
p[A,*]		28	28	30	24
p[B,*]	25		28	33	24
p[C,*]	25	29		29	24
p[D,*]	25	28	28		24
p[E,*]	25	28	28	31

Agora nós podemos determinar o resultado do método Schulze. Comparando A e B por exemplo, como 28 = p[A,B] > p[B,A] = 25, para o método Schulze o candidato A é melhor do que o candidato B. Outro exemplo é que 31 = p[E,D] > p[D,E] = 24, então candidato E é melhor do que candidato D. Continuando neste caminho nós obtemos a classificação Schulze, que é E > A > C > B > D, e E vence. Em outras palavras, E vence já que p[E,X] ≥ p[X,E] para todo outros candidato X.

Implementação

A única etapa difícil na implementação do método Schulze é calcular as forças dos trajetos mais fortes. No entanto, esse é um problema bem conhecido na teoria dos grafos, às vezes chamado de problema do trajeto mais amplo. Logo, um modo simples de calcular as forças é a variante do algoritmo de Floyd-Warshall. O pseudocódigo a seguir ilustra o algoritmo.

# Entrada: d[i,j], o número de eleitores que preferem candidato i ao candidato j.
# Saída: p[i,j], a força do trajeto mais forte do candidato i ao candidato j.

for i from 1 to C
   for j from 1 to C
      if (i <> j) then
         if (d[i,j] > d[j,i]) then
            p[i,j] := d[i,j]
         else
            p[i,j] := 0

for i from 1 to C
   for j from 1 to C
      if (i <> j) then
         for k from 1 to C
            if (i <> k and j <> k) then
               p[j,k] := max ( p[j,k], min ( p[j,i], p[i,k] ) )

Este algoritmo é eficiente, e possui tempo de execução proporcional a C³ onde C é o número de candidatos. (Isso não contabiliza pelo tempo de execução calculando os valores d[*,*], que se implementado na forma mais simples, possui tempo proporcional a C² vezes o número de eleitores.)

Empates e implementações alternativas

Quando permitidos usuários a ter empates em suas preferências, o resultado do método Schulze naturalmente depende de como interpretamos estes empates ao definir d[*,*]. Duas escolhas naturais são que d[A, B] representa ou o número de eleitores que preferem terminantemente A em relação a B (A>B), ou a margem de (eleitores com A>B) menos (eleitores com B>A). Mas não importa como os ds são definidos, a ordenação Schulze não possui ciclos, e assumindo que os ds são únicos ele não possui empates.^[1]

Muito embora empates na classificação Schulze sejam improváveis,^[2] eles são possíveis. O artigo original do Schulze^[1] propunha romper empates de acordo com um eleitor selecionado ao acaso, e repetindo conforme necessário.

Uma maneira alternativa, mais lenta, para descrever o vencedor do método Schulze é o seguinte procedimento:

1. desenhar um gráfico orientado completo com todos os candidatos, e todas as bordas possíveis entre candidatos
2. iterativamente [a] eliminar todos os candidatos que não façam parte do conjunto de Schwartz (ex. qualquer candidato que não pode alcançar todos os outros) e [b] elimina a ligação mais fraca
3. o vencedor é o último candidato não-eliminado

Critérios satisfeitos e fracassados

Critérios satisfeitos

O método Schulze satisfaz os seguintes critérios:

• Unrestricted domain
• Não-imposição (conhecido como soberania cidadã)
• Non-dictatorship
• Critério de Pareto^[1]:§4.3
• Monotonicity criterion^[1]:§4.5
• Majority criterion
• Majority loser criterion
• Critério de Condorcet
• Condorcet loser criterion
• Schwartz criterion
• Smith criterion^[1]:§4.7
• Independence of Smith-dominated alternatives^[1]:§4.7
• Mutual majority criterion
• Independence of clones^[1]:§4.6
• Reversal symmetry^[1]:§4.4
• Mono-append^[3]
• Mono-add-plump^[3]
• Resolvability criterion^[1]:§4.2
• Polynomial runtime^[1]:§2.3"
• Woodall's plurality criterion if winning votes are used for d[X,Y]
• Symmetric-completion^[3] if margins are used for d[X,Y]

Critérios fracassados

Uma vez que o método Schulze satisfaz o critério de Condorcet, ele automaticamente fracassa nos seguintes critérios:

• Participation^[1]:§3.4
• Consistency
• Invulnerabilidade ao comprometimento
• Invulnerabilidade ao enterramento
• Later-no-harm

Da mesma forma, já que o método Schulze não é uma ditadura e concorda com votos unânimes, o teorema de Arrow implica que ele fracassa no critério

• Independence of irrelevant alternatives

Tabela de comparação

A seguinte tabela compara o método Schulze com outros métodos eletivos preferenciais de único vencedor:

v d e Comparação de Sistemas de Votação Preferencial de Ganhador Único
	Monotonico	Condorcet	Maioria	Perdedor de Condorcet	Perdedor de maioria	Mutual majority	Smith	IADS	ILAI	Clone independence	Simetria reversa	Participação, Consistência	Posterior-não-atrapalha	Posterior-não-ajuda	Tempo polinomial	Resolvabilidade
Schulze	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Sim	Sim	Não	Não	Não	Sim	Sim
Pares Ranqueados	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Não	Não	Sim	Sim
Smith alternativo	Não	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Sim	Não	Não	Não	Não	Sim	Sim
Schwartz alternativo	Não	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Sim	Não	Não	Não	Não	Sim	Sim
Kemeny-Young	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Sim	Não	Não	Não	Não	Sim
Copeland	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Não	Sim	Não	Não	Não	Sim	Não
Nanson	Não	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Não	Não	Sim	Não	Não	Não	Sim	Sim
Instant-runoff voting	Não	Não	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Não	Não	Sim	Não	Não	Sim	Sim	Sim	Sim
Borda	Sim	Não	Não	Sim	Sim	Não	Não	Não	Não	Não	Sim	Sim	Não	Sim	Sim	Sim
Baldwin	Não	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Sim	Sim
Bucklin	Sim	Não	Sim	Não	Sim	Sim	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Sim	Sim	Sim
Pluralidade	Sim	Não	Sim	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Sim	Sim	Sim	Sim	Sim
Voto contingente	Não	Não	Sim	Sim	Sim	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Sim	Sim	Sim	Sim
Coombs[n1 1]	Não	Não	Sim	Sim	Sim	Sim	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Sim	Sim
MiniMax	Sim	Sim	Sim	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Sim	Sim
Anti-pluralidade[nota 1]	Sim	Não	Não	Não	Sim	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Sim	Não	Não	Sim	Sim
Sri Lankan	Não	Não	Sim	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Sim	Sim	Sim	Sim
Suplementar	Não	Não	Sim	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Sim	Sim	Sim	Sim
Dodgson[nota 1]	Não	Sim	Sim	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Não	Sim

Notas

1. Também chamado de Descartamento Sequencial Schwartz (Schwartz Sequential Dropping (SSD), no original), Descartamento Sequencial Schwartz Imune a Clones (Cloneproof Schwartz Sequential Dropping (CSSD), no original), Método do Trajeto Superador, Vencedor do Trajeto Superador, Votação Trajetória e Vencedor da Trajetória.

A principal diferente entre o método e o método pares ranqueados, ambos os quais possuem as mesmas caixas na tabela acima, podem ser vistas neste exemplo:

Supondo que a contagem MinMax de um conjunto X de candidatos é a força da vitória emparelhada mais forte de um candidato A ∉ X contra um candidato B ∈ X. Então o método Schulze, mas não o método de pares ranqueados, garante que o vencedor é sempre o candidato do conjunto com a mínima contagem MinMax.^[1]:§4.8 Então, em algum sentido, o método Schulze minimiza a maior vitória emparelhada que precisa ser derrubada ao determinar o vencedor.

História do método Schulze

O método Schulze foi desenvolvido por Markus Schulze em 1997. Ele foi primeiro discutido em listas de e-mail públicas em 1997–1998^[4] e em 2000.^[5] Subsequentemente, usuários do método Schulze incluíram Software in the Public Interest (2003),^[6] Debian (2003),^[7] Gentoo (2005),^[8] TopCoder (2005),^[9] Wikimedia (2008),^[10] KDE (2008),^[11] the Free Software Foundation Europe (2008),^[12] the Partido Pirata da Suécia (2009),^[13] e o Partido Pirata da Alemanha (2010).^[14] Na Wikipédia Francófona, o método Schulze foi um dos dois métodos multi-candidatos aprovados por uma maioria em 2005,^[15] e foi usando diversas vezes.^[16]

Em 2011, Schulze publicou o método no periódico acadêmico Social Choice and Welfare.^[1]

Uso do método Schulze

cédula de exemplo para as eleições do Conselho Administratido da Wikimedia

O método Schulze não é atualmente utilizado em eleições parlamentares. No entanto, ele foi usado para as prévias palamentares no Partido Pirata sueco. Ele também está começando a receber apoio em outras organizações públicas. Organizações que utilizam o método Schulze atualmente:

• Annodex Association^[17]
• Blitzed^[18]
• BoardGameGeek^[19]
• Cassandra^[20]
• Codex Alpe Adria^[21]
• College of Marine Science^[22]
• Computer Science Departmental Society for York University (HackSoc)^[23]
• County Highpointers^[24]
• Debian^[7]
• Demokratische Bildung Berlin^[25]
• Digital Freedom in Education and Youth^[26]
• EnMasse Forums
• EuroBillTracker^[27]
• European Democratic Education Conference (EUDEC)^[28]
• Fair Trade Northwest^[29]
• FFmpeg^[30]
• Flemish Student Society of Leuven^[31]
• Free Hardware Foundation of Italy^[32]
• Free Software Foundation Europe (FSFE)^[12]
• Gentoo Foundation^[8]
• GNU Privacy Guard (GnuPG)^[33]
• Gothenburg Hacker Space (GHS)^[34]
• Graduate Student Organization at the State University of New York: Computer Science (GSOCS)^[35]
• Haskell^[36]
• Kanawha Valley Scrabble Club^[37]
• KDE e.V.^[11]
• Kingman Hall^[38]
• Knight Foundation^[39]
• Kumoricon^[40]
• League of Professional System Administrators (LOPSA)^[41]
• Libre-Entreprise^[42]
• Lumiera/Cinelerra^[43]
• Mathematical Knowledge Management Interest Group (MKM-IG)^[44]
• Metalab^[45]
• Music Television (MTV)^[46]
• Neo^[47]
• netznetz^[48]
• Noisebridge^[49]
• North Shore Cyclists (NSC)^[50]
• OpenEmbedded^[51]
• OpenStack^[52]
• Park Alumni Society (PAS)^[53]
• Partido Pirata de Austrália
• Partido Pirata de Áustria^[54]
• Partido Pirata no Brasil
• Partido Pirata da Alemanha^[14]
• Partido Pirata da Nova Zelândia^[55]
• Partido Pirata da Suécia^[13]
• Partido Pirata da Suíça^[56]
• Pitcher Plant of the Month
• Pittsburgh Ultimate^[57]
• RPMrepo^[58]
• Sender Policy Framework (SPF)^[59]
• Software in the Public Interest (SPI)^[6]
• Squeak^[60]
• Students for Free Culture^[61]
• Sugar Labs^[62]
• TopCoder^[9]
• University of British Columbia Math Club^[63]
• WikIAC^[64]
• Wikimedia Foundation^[10]
• Wikipedia em Francês,^[15] Hebraico,^[65] Húngaro,^[66] e Russo.^[67]

Notas

1. {{{1}}}

Referências

1. Markus Schulze, A new monotonic, clone-independent, reversal symmetric, and condorcet-consistent single-winner election method, Social Choice and Welfare, volume 36, number 2, page 267–303, 2011. Preliminary version in Voting Matters, 17:9-19, 2003.
2. Sob hipótese probabilística razoável quando o número de eleitores é muito superior ao número de candidatos
3. Douglas R. Woodall, Properties of Preferential Election Rules, Voting Matters, issue 3, pages 8-15, December 1994
4. Veja:

   • Markus Schulze, Condorect sub-cycle rule, October 1997 (In this message, the Schulze method is mistakenly believed to be identical to the pares ranqueados method.)
   • Mike Ossipoff, Party List P.S., July 1998
   • Markus Schulze, Tiebreakers, Subcycle Rules, August 1998
   • Markus Schulze, Maybe Schulze is decisive, August 1998
   • Norman Petry, Schulze Method - Simpler Definition, September 1998
   • Markus Schulze, Schulze Method, November 1998
5. Veja:

   • Anthony Towns, Disambiguation of 4.1.5, November 2000
   • Norman Petry, Constitutional voting, definition of cumulative preference, December 2000
6. Process for adding new board members, January 2003
7. Veja:

   • Constitutional Amendment: Condorcet/Clone Proof SSD Voting Method, June 2003
   • Constitution for the Debian Project, appendix A6
   • Debian Voting Information
8. Veja:

   • Gentoo Foundation Charter Arquivado agosto 22, 2011 no WebCite

   • Aron Griffis, 2005 Gentoo Trustees Election Results Arquivado em 3 de outubro de 2015, no Wayback Machine., May 2005
   • Lars Weiler, Gentoo Weekly Newsletter 23 May 2005 Arquivado em 2 de outubro de 2015, no Wayback Machine.
   • Daniel Drake, Gentoo metastructure reform poll is open Arquivado em 3 de outubro de 2015, no Wayback Machine., June 2005
   • Grant Goodyear, Results now more official Arquivado em 25 de setembro de 2015, no Wayback Machine., September 2006
   • 2007 Gentoo Council Election Results Arquivado em 23 de dezembro de 2010, no Wayback Machine., September 2007
   • 2008 Gentoo Council Election Results Arquivado em 23 de dezembro de 2010, no Wayback Machine., June 2008
   • 2008 Gentoo Council Election Results Arquivado em 23 de dezembro de 2010, no Wayback Machine., November 2008
   • 2009 Gentoo Council Election Results Arquivado em 7 de junho de 2011, no Wayback Machine., June 2009
   • 2009 Gentoo Council Election Results Arquivado em 23 de dezembro de 2010, no Wayback Machine., December 2009
   • 2010 Gentoo Council Election Results Arquivado em 23 de dezembro de 2010, no Wayback Machine., June 2010
9. Veja:

   • 2006 TopCoder Open Logo Design Contest, November 2005
   • 2006 TopCoder Collegiate Challenge Logo Design Contest, June 2006
   • 2007 TopCoder High School Tournament Logo Arquivado em 17 de julho de 2011, no Wayback Machine., September 2006
   • 2007 TopCoder Arena Skin Contest Arquivado em 17 de julho de 2011, no Wayback Machine., November 2006
   • 2007 TopCoder Open Logo Contest Arquivado em 17 de julho de 2011, no Wayback Machine., January 2007
   • 2007 TopCoder Open Web Design Contest Arquivado em 17 de julho de 2011, no Wayback Machine., January 2007
   • 2007 TopCoder Collegiate Challenge T-Shirt Design Contest Arquivado em 17 de julho de 2011, no Wayback Machine., September 2007
   • 2008 TopCoder Open Logo Design Contest Arquivado em 17 de julho de 2011, no Wayback Machine., September 2007
   • 2008 TopCoder Open Web Site Design Contest Arquivado em 17 de julho de 2011, no Wayback Machine., October 2007
   • 2008 TopCoder Open T-Shirt Design Contest Arquivado em 17 de julho de 2011, no Wayback Machine., March 2008
10. Veja:

    • Jesse Plamondon-Willard, Board election to use preference voting, May 2008
    • Mark Ryan, 2008 Wikimedia Board Election results, June 2008
    • 2008 Board Elections, June 2008
    • 2009 Board Elections, August 2009
11. section 3.4.1 of the Rules of Procedures for Online Voting
12. Veja:

    • article 6 section 3 of the constitution
    • Fellowship vote for General Assembly seats, March 2009
    • And the winner of the election for FSFE's Fellowship GA seat is ..., June 2009
13. Veja:

    • Inför primärvalen, October 2009
    • Dags att kandidera till riksdagen, October 2009
    • Råresultat primärvalet, January 2010
14. 11 das 16 seções regionais e a seção federal do Partido Pirata da Alemanha estão usando LiquidFeedback para desvincular apurar votos de opiniões internas. Em 2010/2011, os Partidos Piradas de Neukölln (link Arquivado em 19 de julho de 2011, no Wayback Machine.), Mitte (link), Steglitz-Zehlendorf (link), Lichtenberg (link), and Tempelhof-Schöneberg (link) adotaram o método Schulze para suas eleições prévias. Em 2011, o Partido Piara de Berlin adotou este método para suas prévias (link).
15. Choix dans les votes
16. fr:Spécial:Pages liées/Méthode Schulze
17. Election of the Annodex Association committee for 2007, February 2007
18. Condorcet method for admin voting Arquivado em 26 de abril de 2005, no Wayback Machine., January 2005
19. Veja:

    • Important notice for Golden Geek voters, September 2007
    • Golden Geek Awards 2008 - Nominations Open, August 2008
    • Golden Geek Awards 2009 - Nominations Open, August 2009
    • Golden Geek Awards 2010 - Nominations Open, September 2010
20. Project Logo Arquivado em 3 de outubro de 2015, no Wayback Machine., October 2009
21. «Codex Alpe Adria Competitions». 0xaa.org. 24 de janeiro de 2010. Consultado em 8 de maio de 2010
22. «Fellowship Guidelines» (PDF). Consultado em 1 de junho de 2011. Arquivado do original (PDF) em 28 de setembro de 2011
23. Report on HackSoc Elections Arquivado em 26 de julho de 2011, no Wayback Machine., December 2008
24. Adam Helman, Family Affair Voting Scheme - Schulze Method
25. appendix 1 of the constitution Arquivado em 18 de julho de 2011, no Wayback Machine.
26. Logo Competition, May 2009
27. Veja:

    • Candidate cities for EBTM05, December 2004
    • Meeting location preferences, December 2004
    • Date for EBTM07 Berlin, January 2007
    • Vote the date of the Summer EBTM08 in Ljubljana, January 2008
    • New Logo for EBT, August 2009
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    • Poll Results, June 2008
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37. A club by any other name ..., April 2009
38. Veja:

    • Ka-Ping Yee, Condorcet elections, March 2005
    • Ka-Ping Yee, Kingman adopts Condorcet voting, April 2005
39. Knight Foundation awards $5000 to best created-on-the-spot projects, June 2009
40. Veja:

    • Mascot 2007 contest, July 2006
    • Mascot 2008 and cover 2007 contests, May 2007
    • Mascot 2009 and program cover 2008 contests, April 2008
    • Mascot 2010 and program cover 2009 contests, May 2009
    • Mascot 2011 and book cover 2010 contests, May 2010
    • Mascot 2012 and book cover 2011 contests, May 2011
41. article 8.3 of the bylaws
42. Veja:

    • Choix de date pour la réunion Libre-entreprise durant le Salon Solution Linux 2006, January 2006
    • Entrée de Libricks dans le réseau Libre-entreprise, February 2008
43. Lumiera Logo Contest, January 2009
44. The MKM-IG uses Condorcet with dual dropping. That means: The Schulze ranking and the pares ranqueados ranking are calculated and the winner is the top-ranked candidate of that of these two rankings that has the better Kemeny score. Veja:

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    • Andrew A. Adams, MKM-IG Trustees Election 2005 Arquivado em 2012-12-09 na Archive.today, December 2005
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47. Veja:

    • Wahlen zum Neo-2-Freeze: Formalitäten, February 2010
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    • Ergebnisse, March 2010
48. Veja:

    • Online-Abstimmung Arquivado em 17 de julho de 2011, no Wayback Machine.
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    • SPF Council Election Procedures Arquivado em 16 de julho de 2011, no Wayback Machine.
    • 2006 SPF Council Election, January 2006
    • 2007 SPF Council Election, January 2007
60. Squeak Oversight Board Election 2010, March 2010
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64. Veja:

    • Tornei:Carnevale 2007 Arquivado em 22 de julho de 2011, no Wayback Machine., March 2007
    • Tornei:Sigle estate 2008 Arquivado em 22 de julho de 2011, no Wayback Machine., July 2008
65. Veja ex. aqui (Maio de 2009), aqui (Agosto de 2009), e aqui (Dezembro de 2009).
66. Veja aqui e aqui.
67. Veja:

    • Result of 2007 Arbitration Committee Elections
    • Result of 2008 Arbitration Committee Elections
    • Result of 2009 Arbitration Committee Elections
    • Result of 2010 Arbitration Committee Elections

Ligações externas

O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Método de Schulze

Geral

• «Site do método Schulze» (em inglês) por Markus Schulze

Tutórios

• «Schulze-Methode» (em alemão) por Christoph Giesel
• «Condorcet Computations» (PDF) (em inglês) por Johannes Grabmeier
• «Spieltheorie» (PDF) (em alemão) por Bernhard Nebel
• «Schulze-Methode» (PDF) (em alemão) pela University of Stuttgart

Apoio

• «Descriptions of ranked-ballot voting methods» (em inglês) por Rob LeGrand
• «Accurate Democracy» (em inglês) por Rob Loring
• «Election Methods and Criteria» (em inglês) por Kevin Venzke
• «The Debian Voting System» (em inglês) por Jochen Voss
• «election-methods: uma lista de e-mail contendo discussões sobre métodos eletivos» (em inglês)

Livros

• Christoph Börgers (2009), Mathematics of Social Choice: Voting, Compensation, and Division, SIAM, ISBN 0-89871-695-0
• Saul Stahl and Paul E. Johnson (2006), Understanding Modern Mathematics, Sudbury: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-7637-3401-2
• Nicolaus Tideman (2006), Collective Decisions and Voting: The Potential for Public Choice, Burlington: Ashgate, ISBN 0-7546-4717-X

Software

• «Núcleo Python Vote» (em inglês) por Brad Beattie
• «Projeto de Software de Votação» (em inglês) por Blake Cretney
• «Condorcet com Roteiros Perl de Duplo Descartamento» (em inglês) por Mathew Goldstein
• «Calculadora de Votos Condorcet» (em inglês) por Eric Gorr
• «Selectricity» (em inglês) e «RubyVote» (em inglês) por Benjamin Mako Hill
• «Votação Schulze para DokuWiki» (em inglês) por Adrian Lang
• «Electowidget» (em inglês) por Rob Lanphier
• «Calculadora online de votos ordenados por preferência» (em inglês) por Rob LeGrand
• «Módulo Haskell de Condorcet» (em inglês) por Evan Martin
• «Serviço de Votação Condorcet na Internet (CIVS)» (em inglês) por Andrew Myers
• «BetterPolls.com» (em inglês) por Brian Olson
• «OpenSTV» (em inglês) por Jeffrey O'Neill
• «LiquidFeedback» (em inglês)
• «preftools» (em inglês) por the Public Software Group
• «Predefinição de Votação Excel e Add-In» (em inglês)

Projetos legislativos

• Arizonans for Condorcet Ranked Voting

• Portal da política
• Portal da sociedade