Lei de Snell

Em ótica, a lei de Snell, ou simplesmente lei de refração, resume-se a uma expressão que dá o desvio angular sofrido por um raio de luz ao passar para um meio com índice de refração diferente do qual ele estava percorrendo. Em outras palavras, descreve a relação entre os ângulos de incidência e refração, quando referindo-se a luz ou outras ondas passando através de uma fronteira (interface) entre dois meios isotrópicos diferentes, tais como água e vidro. A lei de Snell-Descartes refere-se aos cientistas Willebrord Snellius e René Descartes.

Refração da luz na interface entre dois diferentes índices de refração, com ${\displaystyle n_{2}>n_{1}}$.

Para um raio de luz monocromática passando de um meio para o outro, é constante o produto do seno do ângulo, formado pelo raio e pela normal, com o índice de refração em que se encontra esse raio. Matematicamente:^[1]

${\displaystyle n_{1}\cdot \sin \theta _{1}=n_{2}\cdot \sin \theta _{2}}$

em que ${\displaystyle \theta _{1}}$ e ${\displaystyle \theta _{2}}$ são os ângulos de incidência e refração, respectivamente, e ${\displaystyle n_{1}}$ e ${\displaystyle n_{2}}$ os índices de refração dos dois meios.

Índice de refração

Para determinar o índice de refração (${\displaystyle n}$) deve-se utilizar a expressão:

${\displaystyle n={\frac {c}{v}}}$

Na qual:

• ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz no vácuo (constante);
• ${\displaystyle v}$ é a velocidade no meio escolhido; e
• ${\displaystyle n}$ é o índice de refração do meio escolhido

Explicação

A lei de Snell é usada para determinar a direção dos raios de luz através de meios refrativos com índices de refração distintos. Os índices de refração dos meios, ${\displaystyle n_{1}}$, ${\displaystyle n_{2}}$ e assim por diante, são usados para representar o fator pelo qual a velocidade de um raio de luz diminui ao deslocar-se através de um meio refrativo, como vidro ou água, em oposição à sua velocidade no vácuo.

Conforme a luz cruza a fronteira entre os meios, dependendo dos índices de refração relativos entre os dois, a luz poderá ser refratada para um ângulo menor ou maior. Esses ângulos são medidos com respeito à linha normal, representada perpendicularmente à fronteira. No caso onde luz desloca-se do ar para a água, a luz seria refratada em direção à linha normal, pois a velocidade da luz diminui na água; já a luz deslocando-se da água para o ar seria refratada na direção oposta á linha normal.

A refração entre duas superfícies é denominada reversível pois se todas as condições forem idênticas, os ângulos seriam os mesmos para a luz movendo-se na direção oposta.

A Lei de Snell é geralmente verdadeira somente para meios isotrópicos (como o vidro). Em meios anisotrópicos como alguns cristais, a birrefringência pode dividir o raio refratado em dois raios, o ordinário ou raio-o que segue a Lei de Snell, e o outro extraordinário ou raio-e que pode não ser coplanar ao raio incidente.

Quando a luz ou outra onda envolvida é monocromática, isto é, frequência única, a Lei de Snell pode também ser expressa em termos de uma razão dos comprimentos de onda do raio em cada meio, λ₁ e λ₂:

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$

Derivações e fórmula

Frente de onda de um ponto de origem no contexto da Lei de Snell. A região abaixo da linha cinza possui um índice de refração maior, e proporcionalmente menor velocidade da luz, do que a região acima dela.

A Lei de Snell pode ser derivada pelo princípio de Fermat,^[2] que diz que a luz viaja pelo caminho que leva o menor tempo. Ao tomar a derivada do comprimento do caminho óptico, o ponto estacionário é encontrado, dando o caminho tomado pela luz (Embora deva-se ter em mente que o resultado não mostra a luz utilizando o caminho de menor tempo, mas sim o caminho que é estacionário para pequenas variações, de modo que há casos onde a luz na verdade toma o caminho que leva o maior tempo, como em um espelho esférico). Em uma analogia clássica, o meio de menor índice de refração pode ser visto como uma praia, e o de maior índice de refração como o oceano, e o modo mais rápido de um salva-vidas na praia chegar até uma pessoa no oceano é percorrendo o caminho que segue a Lei de Snell.

Alternativamente, a Lei de Snell pode ser derivada utilizando a interferência de todos os caminhos possíveis da onda de luz da fonte até o observador—que resultam em interferência destrutiva em todos os pontos exceto no extremo da fase (onde a interferência será construtiva}— os quais tornam-se caminhos.

Outra maneira de derivar a Lei de Snell envolve uma aplicação das condições gerais de contorno das equações de Maxwell para radiação eletromagnética.

Ainda outra maneira de derivar a Lei de Snell é baseada em considerações de simetria de translação.^[3] Por exemplo, uma superfície homogênea perpendicular à direção z não pode mudar o momento transverso. Já que o vetor de propagação ${\displaystyle {\vec {k}}}$ é proporcional ao momento do fóton, a direção da propagação transversa ${\displaystyle (k_{x},k_{y},0)}$ deve permanecer a mesma em ambas as regiões. Presumindo sem perda de energia um plano de incidência no plano ${\displaystyle z,x}$ ${\displaystyle k_{x{\text{Região}}_{1}}=k_{x{\text{Região}}_{2}}}$. Usando a dependência conhecida do número de onda no índice de refração do meio, derivamos a Lei de Snell.

${\displaystyle k_{x{\text{Região}}_{1}}=k_{x{\text{Região}}_{2}}\,}$

${\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,}$

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}$

Sendo ${\displaystyle k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}={\frac {\omega }{c}}}$ é o número de onda no vácuo. Perceba que nenhuma superfície é realmente homogênea, pelo menos em escala atômica. Ainda assim simetria translacional completa é uma excelente aproximação quando a região é homogênea na escala do comprimento de onda da luz.

Forma vetorial

Dado um vetor de luz normalizado l (apontando da fonte de luz em direção à superfície) e um vetor normalizado do plano normal n, podemos encontrar os raios normalizados refletido e refratado:^[4]

${\displaystyle \cos \theta _{1}=\mathbf {n} \cdot (-\mathbf {l} )}$

${\displaystyle \cos \theta _{2}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refletido} }=\mathbf {l} +\left(2\cos \theta _{1}\right)\mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refratado} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\mathbf {l} +\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right)\mathbf {n} }$

Nota: ${\displaystyle \cos \theta _{1}}$ deve ser positivo. Caso contrario, use

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refratado} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\mathbf {l} +\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right)\mathbf {n} .}$

Exemplo:

${\displaystyle \mathbf {l} =\{0.707107,-0.707107\},~\mathbf {n} =\{0,1\},~{\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9}$

${\displaystyle \mathbf {~} \cos \theta _{1}=0.707107,~\cos \theta _{2}=0.771362}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refletido} }=\{0.707107,0.707107\},~\mathbf {v} _{\mathrm {refratado} }=\{0.636396,-0.771362\}}$

Os cossenos podem ser reutilizados nas equações de Fresnel para encontrar a intensidade dos raios resultantes.

A reflexão interna total é indicada por um radicando negativo na equação para ${\displaystyle \cos \theta _{2}}$. Nesse caso, uma onda evanescente é produzida, a qual decai rapidamente a partir da superfície e adentrando o segundo meio. A conservação de energia é mantida pela circulação da energia através da fronteira, em que a média da transmissão de energia de rede é zero.

Demonstração de não-refração à ângulos maiores que o ângulo crítico.

Reflexão interna total e ângulo crítico

Quando a luz viaja de um meio com índice de refração maior para um com índice de refração menor, a Lei de Snell parece necessitar em alguns casos (quando o ângulo de incidência é suficientemente grande) que o seno do ângulo de refração seja maior que um. Isso claramente é impossível, e a luz nesses casos é completamente refletida pela fronteira, um fenômeno conhecido como reflexão interna total^[5] O maior ângulo de incidência possível que ainda resulta em um raio refratado é chamado de ângulo crítico; nesse caso o raio refratado viaja ao longo da fronteira entre os dois meios.

Refração da luz na fronteira entre dois meios.

Por exemplo, considere um raio de luz movendo-se da água para o ar com um ângulo de incidência de 50°. Os índices de refração da água e do ar são aproximadamente 1.333 e 1, respectivamente, então a Lei de Snell nos dá a relação.

${\displaystyle \sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {1.333}{1}}\cdot \sin \left(50^{\circ }\right)=1.333\cdot 0.766=1.021,}$

A qual é impossível satisfazer. O ângulo crítico θ_crit é o valor de θ₁ para o qual θ₂ é igual a 90°:

${\displaystyle \theta _{\text{crit}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \theta _{2}\right)=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=48.6^{\circ }.}$

Dispersão

Ver artigo principal: Dispersão (óptica)

Em diversos meios propagadores de onda, a velocidade da onda muda conforme a frequência ou o comprimento de onda das ondas; Isso é verdadeiro para a propagação da luz na maioria dos meios transparentes, com exceção do vácuo. Esses meios são chamados de dispersivos. O resultado é que os ângulos determinados pela Lei de Snell também dependem da frequência e do comprimento de onda, de modo que um raio com comprimentos de ondas mistos, como a luz branca, irá se espalhar ou dispersar. Tal dispersão de luz no vidro ou na água oculta a origem dos arco-íris e de outros fenômenos ópticos, nos quais diferentes comprimentos de onda apresentam-se como diferentes cores.

Em instrumentos ópticos, a dispersão leva à aberração cromática; um borrado dependente da cor que algumas vezes é efeito do limite de resolução. Isso ocorre especialmente em telescópios de refração, antes da invenção das lentes objetivas acromáticas.

Meios condutores, absorvedores ou com perdas

Em um meio condutor, a permissividade e o índice de refração são valores complexos. Consequentemente, o ângulo de refração e o vetor de onda também são. Isso implica que, enquanto as superfícies de uma fase real constante são planas cujas normais fazem um ângulo igual ao ângulo de refração com a normal da fronteira, as superfícies de amplitude constante, em contraste, são planos paralelos à própria fronteira. Como esses dois planos geralmente não coincidem, a onda é dita não-homogênea.^[6] A onda refratada é exponencialmente atenuada, com expoente proporcional à componente imaginária do índice de refração.^[7][8]

Ver também

• Refração

Referências

1. Textos de Apoio ao Professor de Física, v.18 n.2 2007, Instituto de Física – UFRGS,
2. Fassarella, Lúcio (2007). «Lei de Snell generalizada». Revista Brasileira de Ensino de Física: 215–224. ISSN 1806-1117. doi:10.1590/S1806-11172007000200006. Consultado em 2 de julho de 2022
3. John D Joannopoulos, Johnson SG, Winn JN & Meade RD (2008). Photonic Crystals: Molding the Flow of Light 2nd ed. Princeton NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12456-8 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
4. Andrew S. Glassner (1989). An Introduction to Ray Tracing. [S.l.]: Morgan Kaufmann. ISBN 0-12-286160-4
5. Aula 30 – Reflexão e Refração da Luz, Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Departamento de Física, Arquivado em 23 de outubro de 2008, no Wayback Machine.
6. Born and Wolf,sec.13.2, "Refraction and reflection at a metal surface"
7. Hecht, Optics, sec. 4.8, Optical properties of metals.
8. S. J. Orfanidis, Electromagnetic Waves & Antennas, sec. 7.9, Oblique Incidence on a Lossy Medium,

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