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Em matemática e lógica, impredicatividade é a propriedade de uma definição autorreferenciável. Mais precisamente, a definição é chamada impredicativo se ela chamar (mencionar ou quantificar) o próprio conjunto que já está sendo definido, ou (mais comumente) outro conjunto que contenha o conjunto que está sendo definido.
O Paradoxo de Russell é um famoso exemplo de construção de um impredicativo, ou seja, o conjunto de todos os conjuntos que não contêm eles mesmos. O paradoxo acontece se o tal conjunto contém ele próprio ou não — se ele contiver então, por definição, ele não deveria conter a si mesmo, e se ele não contiver, então, por definição, ele deveria conter a si mesmo.
O maior limite inferior de um conjunto X, glb(X), também tem uma definição impredicativa; y = glb(X) se e somente se para todos os elementos x de X, y for menor ou igual a x, e qualquer z menor ou igual a todos os elementos de X é menor ou igual a y. Apesar disso, essa definição também quantifica o conjunto (potencialmente infinito, dependendo da ordem em questão) cujos elementos são o limites inferior de X, sendo um deles o próprio limite inferior. O predicativismo de Hence rejeitaria essa definição.[1]
A noção oposta de impredicatividade é o predicatividade, que essencialmente constrói teorias estratificadas (ou ramificadas) onde a quantificação de níveis menores resultam em variáveis de um novo tipo, diferentes dos tipos de menor nível que a variável consegue alcançar. Um exemplo simples seria a da teoria intuicionista, que possui a ramificação, mas descarta a impredicatividade.
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O princípio do círculo vicioso foi sugerido por Henri Poincaré (1905-6, 1908)[2] e Bertrand Russell no aparecimento dos paradoxos como essencial na legitimação das especificações do conjunto. Conjuntos que não seguem essas especificações são chamados de impredicativos.
O primeiro paradoxo moderno apareceu no livro A question on transfinite numbers[3]de Cesare Burali-Forti publicado em 1897 e se tornaria conhecido como o paradoxo de Burali-Forti. Cantor aparentemente teria descoberto o mesmo paradoxo em sua "ingênua" teoria dos conjuntos (de Cantor) e se tornaria conhecido como o paradoxo de Cantor. Russell tomou consciência do problema em Junho de 1901[4] ao ler o tratado da matemática lógica de Frege, no seu livro Begriffsschrift publicado em 1879; a derradeira declaração de Frege é a seguinte:
- "Por outro lado, também é possível que o argumento seja determinável e a função indeterminável".[5]
Em outras palavras, dada uma função f(a), a funçãof é a variável e a é a parte que não varia. Então por que não substituir o valor f(a) pelo próprio f? Imediatamente, Russell escreveu uma carta a Frege mostrando que:
- "Você afirma... que a função também pode atuar como um elemento. Acreditei nisso de início, mas agora parece-me bastante duvidoso por causa da seguinte contradição. Seja w o predicado: ser um predicado que não se predica. É possível que w seja seu próprio predicado? Para cada resposta segue sua oposta. Então concluímos que w não é um predicado. Da mesma forma, não existe classe (como uma totalidade) como cada uma daquelas classes que se totalizaram, elas não pertencem a si mesmas. A partir disso concluo que, sob certas circunstâncias, uma coleção definível não forma uma totalidade.".[6]
Prontamente, Frege respondeu a Russel reconhecendo o problema:
- "Sua descoberta da contradição me causou uma grande surpresa e, eu até diria que quase uma pavor, já que balançou a base em que eu pretendia construir aritmética".[7]
Enquanto o problema trouxe más consequências pessoais para ambos os homens(os dois tinham trabalhos nas gráficas a serem corrigidos), van Heijenoort observava que "O paradoxo chocou o mundo dos lógicos', e os estrondos são sentidos até hoje. ... O paradoxo de Russell, que utiliza noções básicas de conjunto e elemento, se encaixa perfeitamente no campo da lógica. O paradoxo foi primeiramente publicado por Russel em The principles of mathematics (1903) onde é discutido em grandes detalhes...".[8] Russell, após 6 anos de falsos começos, eventualmente responderia o porquê da sua teoria dos tipos publicada em 1908 propondo seu axioma da reducibilidade. Esse axioma diz que qualquer função coexiste com o que ele chama de função predicativa: uma função em que os tipos das aparentes variáveis não vão além dos tipos dos argumentos".[9] Mesmo assim esse axioma foi recebido com certa resistência por todos os estudiosos.
A rejeição de objetos matemáticos definidos por impredicatividade (enquanto que aceitando os números naturais como classicamente entendíveis) direcionou a uma a uma postura na filosofia da matemática conhecida como predicativismo, defendido por Henri Poincaré e Hermann Weyl no seu livro Das Kontinuum. Poincaré e Weyl argumentavam que as definições impredicativas são problemáticas apenas quando um ou mais subconjuntos são infinitos.
Ernst Zermelo em seu A new proof of the possibility of a well-ordering publicado em 1908 apresenta uma seção inteira "b. Objeção quanto a definição não predicativa" onde ele argumentava contra "Poincaré (1906, p. 307) [que declara que] uma definição é 'predicativa' e logicamente admissível apenas se excluir todos os objetos que são dependentes da noção definida, isto é, que pode de alguma maneira ser determinado por isso.[10] Ele dá dois exemplos de definição impredicativa -- (i) a noção de correntes de Dedekind e (ii) "numa análise em qualquer lugar que o máximo ou o mínimo de um conjunto Z de números previamente definido é utilizado em inferências mais complexas. Isso ocorre, por exemplo, na conhecida prova do teorema fundamental da álgebra de Cauchy, e até aquele momento ninguém ainda havia pensando em considerar isso como algo ilógico".[11] Ele termina sua seção com a seguinte observação: "Uma definição deve muito bem estar baseada em noções que são equivalentes às que estão sendo definidas; de fato, em toda definiçãodefiniens e definiendum são noções equivalente e a severa observação da exigência de Poincaré tornaria cada definição, e,consequentemente, toda a ciência, impossível".[12]
O exemplo de Zermelo do mínimo e máximo de um conjunto de números previamente "completo" reaparece no livro Kleene 1952:42-42 onde Kleene utiliza o exemplo do menor limite superior em sua discussão sobre definições impredicativas; Kleene não resolve o problema. Nos próximos parágrafos ele discute sobre a tentativa de Weyl em 1918 em seu livro Das Kontinuum de eliminar as definições impredicativas e sua falha em reter o "teorema em que um conjunto arbitrário M não vazio de números reais com limite superior tem um menor limite superior (Cf. também Weyl 1919.)".[13]
Ramsey argumentou que definições "impredicativas" podem ser inofensivas: por exemplo, a definição de "A maior pessoa na sala" é impredicativa, desde que dependa de um conjunto de coisas em que ela seja um elemento, isto é, o conjunto de todas na sala. Na matemática, um exemplo de uma definição impredicativa é o menor número num conjunto, que é formalmente definido como:y = min(X) se e somente se para todos os elementos x de X, y for menor ou igual a x, e y pertencer a X.
Burgess (2005) discute as teorias de predicativo e impredicativo discusses predicative and impredicative em certo ponto, no contexto da lógica de Frege, Aritmética de Peano, aritmética de segunda ordem, e da teoria axiomática dos conjuntos.
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