Hipercubo

 Nota: Para a técnica de amostragem, veja Amostragem por hipercubo latino.

Em geometria, um hipercubo é uma figura geométrica que generaliza o quadrado (2 dimensões) e o cubo (3 dimensões) para espaços com qualquer número de dimensões, chamados de n-dimensões. É uma forma fechada, compacta e convexa, composta por segmentos de reta paralelos, todos do mesmo tamanho, alinhados em cada dimensão do espaço e formando ângulos retos entre si. ^[1]

Animação do octácoro (ou tesserato), um hipercubo de 4 dimensões.

Animação do decátero (ou penteracto), um hipercubo de 5 dimensões.

Um hipercubo de dimensão N é o conjunto de pontos no espaço euclidiano N-dimensional que satisfazem as desigualdades ${\displaystyle \forall i:-{\frac {a}{2}}<x_{i}<{\frac {a}{2}}}$, onde ${\displaystyle a}$ é o comprimento da aresta do hipercubo.

Também é possível definir um hipercubo como o produto cartesiano de N segmentos iguais.

Outra forma de caracterizar o N-cubo é como uma figura geométrica em que cada vértice está ligado por arestas a N outros vértices; N determina, por sua vez, a dimensão dessa figura. Ainda, um cubo N-dimensional pode ser entendido como formado por N pares de hiperplanos paralelos de dimensão (N−1), o que resulta em 2^N células (ou hiperfaces), cada uma sendo um (N−1)-cubo.

De forma geral, o número de faces K-dimensionais de um cubo N-dimensional é dado por ${\displaystyle 2^{N-K}\cdot {\binom {N}{K}}}$, onde ${\displaystyle {\binom {N}{K}}}$ representa o número de grupos de faces K-dimensionais paralelas (ou o número de faces K-dimensionais adjacentes a um vértice), e ${\displaystyle 2^{N-K}}$ é o número de faces K-dimensionais em cada grupo.

Um hipercubo de n dimensões é chamado de n-cubo. Por exemplo:

• Um 2-cubo é um quadrado;
• Um 3-cubo é um cubo;
• Um 4-cubo é um tesserato (ou octácoro).

O conceito foi estudado por matemáticos como Harold Scott MacDonald Coxeter e E. L. Elte (1912), que o chamaram de "polítopo de medida". ^[2]

O que é um hipercubo?

Um hipercubo é uma figura que existe em espaços com mais dimensões do que as três que vemos (comprimento, largura e altura). Podemos entender sua construção por etapas:

• 0 dimensão: Um ponto.
• 1 dimensão: Um segmento de reta, ao mover o ponto.
• 2 dimensões: Um quadrado, ao mover o segmento perpendicularmente.
• 3 dimensões: Um cubo, ao mover o quadrado perpendicularmente ao seu plano.
• 4 dimensões e além: Um hipercubo surge ao mover um cubo (ou hipercubo menor) em uma direção perpendicular a todas as anteriores. ^[3]

Como dimensões acima da terceira são difíceis de visualizar, usamos projeções 2D (como nas animações) ou analogias. Por exemplo, um tesserato (4-cubo) pode ser pensado como dois cubos conectados em uma quarta dimensão.

Definição matemática

Um hipercubo pode ser definido de várias formas:

1. Coordenadas: Um hipercubo unitário em n dimensões é o conjunto de pontos em ℝⁿ cujas coordenadas são 0 ou 1, formando 2ⁿ vértices. Por exemplo, um quadrado (2-cubo) tem vértices (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Um hipercubo geral com lado a e centro x contém pontos y tais que |yᵢ - xᵢ| ≤ a/2 para cada coordenada i. ^[3]
2. Produto cartesiano: Um hipercubo é o produto cartesiano de n intervalos iguais, como [0,1]ⁿ para um hipercubo unitário. ^[2]
3. Esqueleto: O esqueleto de 1 dimensão de um hipercubo (suas arestas) forma um grafo chamado grafo hipercubo, onde cada vértice se conecta a n outros. ^[4]

Propriedades

As propriedades matemáticas de um hipercubo n-dimensional com aresta de comprimento a são:

Resumo das propriedades do n-cubo

Propriedade	Fórmula geral	Exemplo (n=4, a=1)
Número de vértices	${\displaystyle 2^{n}}$	16
Número de arestas	${\displaystyle n\cdot 2^{n-1}}$	32
Número de faces 2D (quadrados)	${\displaystyle 2^{n-2}\cdot {\binom {n}{2}}}$	24
Número de células 3D (cubos)	${\displaystyle 2^{n-3}\cdot {\binom {n}{3}}}$	8
Volume (n-hipervolume)	${\displaystyle V_{n}=a^{n}}$	1
Área da superfície ((n−1)-volume)	${\displaystyle S_{n}=2n\cdot a^{n-1}}$	8
Comprimento da diagonal	${\displaystyle D=a{\sqrt {n}}}$	2
Raio da hiperesfera circunscrita	${\displaystyle R={\frac {a{\sqrt {n}}}{2}}}$	1
Raio da hiperesfera inscrita	${\displaystyle r={\frac {a}{2}}}$	0,5

^[2]

Diferentes Hipercubos

N-Cubo	Imagem (projeção 2D)	Nome	Pontos (0)	Segmentos (1)	Quadrados (2)	Cubos (3)	Tesseractos (4)	Penteractos (5)	Hexeractos (6)	Heptaractos (7)	Octeractos (8)	Ennearactos (9)	Dekeractos (10)
0-cubo		Ponto	1	0
1-cubo		Segmento	2	1	0
2-cubo		Quadrado	4	4	1	0
3-cubo		Cubo	8	12	6	1	0
4-cubo		Tesseracto	16	32	24	8	1	0
5-cubo		Penteracto	32	80	80	40	10	1	0
6-cubo		Hexeracto	64	192	240	160	60	12	1	0
7-cubo		Heptaracto	128	448	672	560	280	84	14	1	0
8-cubo		Octeracto	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1	0
9-cubo		Ennearacto	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1	0
10-cubo		Dekeracto	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Hipercubos de dimensões maiores, como o 6-cubo (hexeracto) ou 10-cubo (dekeracto), seguem o mesmo padrão.

Aplicações

Hipercubos são usados em diversas áreas:

• Matemática: Estudados em geometria multidimensional e topologia, como politopos regulares. ^[2]
• Computação: Inspiram arquiteturas de redes, como em supercomputadores, devido à estrutura simétrica do grafo hipercubo. ^[4]
• Física: Modelos de dimensões extras, como em teorias de cordas, usam conceitos de hipercubos.
• Estatística: A amostragem por hipercubo latino distribui pontos uniformemente em espaços multidimensionais, útil em simulações. ^[3]

Hipercubos na cultura

Hipercubos aparecem em ficção científica e arte, simbolizando dimensões superiores:

• And He Built a Crooked House (1941), de Robert A. Heinlein, descreve uma casa em forma de tesserato.
• Flatland (1884), de Edwin A. Abbott, explora dimensões extras.
• Crucifixion (Corpus Hypercubus) (1954), de Salvador Dalí, mostra uma cruz como tesserato.

Ver também

• Tesserato
• Polítopo
• Geometria multidimensional
• Hiperesfera
• Simplex