Grupo especial unitário

Em matemática, o grupo especial unitário ou grupo unitário especial de grau n, denotado por SU(n), é o grupo das matrizes complexas, n por n, unitárias e com determinante igual a um. A operação de grupo é o produto de matrizes.

O grupo especial unitário é um subgrupo do grupo formado pelas matrizes com determinante um, e um subgrupo do grupo unitário; ambos são subgrupos do grupo linear geral GL(n,${\displaystyle \mathbb {C} }$).

O caso mais simples, SU(1), é um grupo trivial, tendo um único elemento. O grupo SU(2) é isomorfo ao grupo dos quatérnios com valor absoluto um, que por sua vez é difeomorfo a esfera de dimensão 3. Como os quatérnios unitários podem ser utilizados para representar rotações no espaço tridimensional, temos um homomorfismo sobrejetivo da SU(2) no grupo de rotações SO(3), cujo centro é ${\displaystyle \{+I,-I\}}$.

Propriedades

O grupo especial unitário SU(n) é um grupo de Lie clássico de dimensão n²-1. Topologicamente, é compacto e simplesmente conexo. Algebricamente, é um grupo de Lie simples, o que significa que a sua Álgebra de Lie é simples. O centro do grupo SU(n) é isomorfo ao grupo cíclico ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$. O seu grupo de automorfismos exteriores, para n ≥ 3, é ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, enquanto o grupo dos automorfismos exteriores de SU(2) é o grupo trivial.

A álgebra SU(n) algebra é gerada por n² operadores, que claramente satisfazem a relações entre comutadores (para i,j,k,l = 1, 2, ..., n)

${\displaystyle \left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}}$

Além disto, o operador

${\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}}$

satisfaz

${\displaystyle \left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0}$

o que implica que o número de geradores independentes de SU(n) é n²-1.^[1]

Geradores

SU(2)

Para SU(2), os geradores são proporcionais às matrizes de Pauli

${\displaystyle \sigma _{1}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

SU(3)

O análogo para as matrizes de Pauli para SU(3) são as matrizes de Gell-Mann

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

Os geradores de SU(3) são definidos por T pela relação

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}.\,}$

onde as matrizes λ Gell-Mann, são o SU(3) analógas das matrizes de Pauli para SU(2):

Estas, por sua vez, seguem a seguinte relação:

• ${\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}\,}$

onde f é uma constante estrutural, e tem valor dado por

${\displaystyle f^{123}=1\,}$

${\displaystyle f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\,}$

${\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}$

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (T_{a})=0\,}$

Referências

1. R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.

• Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)

Ligações externas

• «Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003»