Álgebra de Lie

Em álgebra, uma álgebra de Lie é uma estrutura algébrica cujo principal uso está no estudo dos grupos de Lie e das variedades diferenciáveis. As álgebras de Lie foram introduzidas como ferramenta para o estudo das rotação infinitesimais. O termo "Álgebra de Lie" é uma referência a Sophus Lie, e foi cunhado pelo matemático Hermann Weyl na década de 1930.

Definição e primeiras propriedades

Uma álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é um tipo de álgebra sobre um corpo; é um espaço vetorial sobre um corpo F juntamente com uma operação binária (${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$, chamada de comutador, ou colchete de Lie), que satisfaz os seguintes axiomas:

• Bilinearidade:

  ${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

  para todos escalares ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ em F e todos elementos ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ em ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

• Anticomutatividade:

  ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]\,}$

  para todos elementos ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ Quando F for um corpo de característica dois, deve-se impor a condição mais forte

  ${\displaystyle [x,x]=0}$

  para todo x em ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

• A identidade de Jacobi:

  ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\quad }$

  para todos ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ em ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

Para qualquer álgebra associativa A com multiplicação *, pode-se construir uma álgebra de Lie L(A). Como espaço vetorial, L(A) coincide com A. O colchete de Lie de L(A) é definido como sendo o seu comutador em A:

${\displaystyle [a,b]=a*b-b*a.}$

A associatividade da multiplicação * em A implica a identidade de Jacobi para o comutador em L (A). Em particular, a álgebra associativa das matrizes n' × n sobre um corpo F dá origem ao grupo linear geral ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F).}$ A álgebra associativa A é chamada de uma álgebra envolvente da álgebra de Lie L (A).

É sabido que cada álgebra de Lie pode ser mergulhada em uma álgebra que é definida, desta forma, a partir de uma álgebra associativa.

Exemplos

• Qualquer espaço vetorial V dotado de um colchete de Lie identicamente nulo é uma álgebra de Lie. Tais álgebras de Lie são chamadas de abelianas. Qualquer álgebra de Lie unidimensional sobre um corpo é abeliana, pela antisimetria do colchete de Lie.
• O espaço euclidiano tridimensional R³ munido do colchete de Lie dado pelo produto vetorial de espaços vetoriais é uma álgebra de Lie tridimensional.
• A álgebra de Heisenberg é uma álgebra de Lie tridimensional com geradores x,y,z, cujas relações de comutação são da forma

${\displaystyle [x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0.\,}$

• Qualquer grupo de Lie G define uma álgebra de Lie associada ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=Lie(G).}$

A definição geral é técnica, mas no caso dos grupos clássicos de matrizes reais, ela pode ser formulada via a aplicação exponencial. A álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ consiste das matrizes X da forma ::${\displaystyle \exp(tX)\in G\,}$ : para todos t's reais. A álgebra de Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é dada pelo comutador de tais matrizes. Como um exemplo concreto, considere o grupo linear especial SL(n,R), consistindo das matrizes n × n com entradas reais e determinante 1. Este um grupo clássico, e a sua álgebra de Lie tem como elementos todas as matrizes n × n reais e com Traço zero.

Relação com grupos de Lie

A correspondência entre álgebras de Lie e grupos de Lie é utilizada de diversas maneiras, incluindo-se na elaboração da lista dos grupos de Lie simples e na teoria da representação dos grupos de Lie. Toda representação de uma álgebra de Lie é levantada de forma única para uma representação do grupo de Lie conexo e simplesmente conexo correspondente. De forma recíproca, toda representação de um grupo de Lie induz uma representação da sua álgebra de Lie; suas representações estão biunivocamente correspondidas.

Referências

• San Martin, Luiz A. Barrera. Álgebras de Lie, 2ª edição, Editora da Unicamp, Campinas, 2010. ISBN 978-85-268-0876-8
• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
• Kac, Victor G. et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, https://web.archive.org/web/20070131211842/http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9
• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Sophus Lie, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lie.html
• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Wilhelm Killing, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Killing.html
• (2010) Videoaulas sobre Álgebra de Lie Videoteca do Instituto de Física da USP, professor Roldão da Rocha Jr.

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