Constante de Boltzmann

A constante de Boltzmann (${\displaystyle k}$ ou ${\displaystyle k_{B}}$) é a constante física que relaciona temperatura e energia de moléculas.^[1] Tem o nome do físico austríaco Ludwig Boltzmann, que fez importantes contribuições para a física e para a mecânica estatística, na qual a sua constante tem um papel fundamental. A 26ª Conferência Geral de Pesos e Medidas fixou o valor exato da constante de Boltzmann:^[2]

${\displaystyle k=1,380\ 649\times 10^{-23}\ {\mbox{J}}\cdot {\mbox{K}}^{-1}}$

História

Ludwig Boltzmann aos 24 anos de idade (1869)

Embora Boltzmann tenha feito primeiro a ligação entre entropia e probabilidade, em 1877, a relação não foi expressa com uma constante antes de Max Planck fazê-lo. ${\displaystyle k}$, com um valor preciso de 1.346×10⁻²³ ${\displaystyle {\frac {J}{K}}}$ (apenas 2,5% menor que o conhecido hoje), introduzido na lei de Planck para a radiação do corpo negro, em 1900-1901, no mesmo artigo em que Planck introduziu a constante que leva seu nome, a relação entre a frequência e energia de fótons e a equação de Boltzmann-Planck (por vezes chamada apenas de equação de Boltzmann).^[3]

Determinação experimental

A forma mais simples de chegar à constante de Boltzmann é dividir a constante dos gases perfeitos pela constante de Avogadro.

A constante de Boltzmann relaciona assim a ideia de que, para qualquer quantidade de um gás ideal, obtemos um valor constante caso dividirmos o valor obtido a partir da multiplicação de pressão e volume pelo valor da temperatura, o ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\bigg (}0,082{\frac {({atm}\cdot L)}{({mol}\cdot K)}}}$ ou ${\displaystyle 8,31{\frac {J}{{mol}\cdot K}}{\bigg )}}$. Deste modo estamos a considerar que ${\displaystyle R}$ é a quantidade de energia por mol de moléculas de gás. Ao dividir este novo valor pelo número de Avogadro obtemos a quantidade de energia contida por cada molécula de gás, de acordo com as expressões:

${\displaystyle {\frac {PV}{T}}={cte}(R\cdot n)}$,

${\displaystyle {\frac {R}{N}}=K_{b}}$ (ou ${\displaystyle B}$)

Valores da constantes de Boltzmann em unidades diferentes

Valores de ${\displaystyle k_{B}}$	Unidades	Comentários
${\displaystyle 1.380\ 649\times 10^{-23}}$	J/K	Unidades do SI, valor de 2017 do CODATA, ${\displaystyle {\frac {\mbox{J}}{\mbox{K}}}={\frac {{\mbox{m}}^{2}\cdot {\mbox{kg}}}{({\mbox{s}}{^{2}}\cdot {\mbox{K}})}}}$ na unidades do SI [1]
${\displaystyle {\mbox{8.617 3324 (78)}}\cdot ~10^{-5}}$	eV/K	Valores do CODATA [1] 1 electronvolt ${\displaystyle ={\mbox{1.602 176 565 (35)}}\cdot ~10^{-19}~J}$[1]${\displaystyle {\frac {1}{k_{B}}}={\mbox{11 604.519 (11)}}~{\frac {K}{eV}}}$
${\displaystyle {\mbox{2.083 6618 (19)}}\cdot 10^{10}}$	Hz/K	Valores do CODATA[1] ${\displaystyle 1Hz\cdot }$ h ${\displaystyle ={\mbox{6.626 069 57 (29)}}\cdot 10^{-34}J}$[1]
${\displaystyle {\mbox{3.166 8114 (29)}}\cdot 10^{-6}}$	EH/K	${\displaystyle E_{H}=2}$R∞${\displaystyle hc={\mbox{4.359 744 34 (19)}}\cdot 10^{-18}J}$[1] ${\displaystyle ={\mbox{6.579 683 920 729 (33)}}~Hz\cdot h}$[1]
${\displaystyle {\mbox{1.380 6488 (13)}}\cdot 10^{-16}}$	erg/K	Sistema CGS, 1 erg = ${\displaystyle 1\cdot 10^{-7}J}$
${\displaystyle {\mbox{3.297 6230 (30)}}\cdot 10^{-24}}$	cal/K	1 Caloria ${\displaystyle =4.1868J}$
${\displaystyle {\mbox{1.832 0128 (17)}}\cdot 10^{-24}}$	cal/°R	1 grau de Rankine ${\displaystyle ={\frac {5}{9}}K}$
${\displaystyle {\mbox{5.657 3016 (51)}}\cdot 10^{-24}}$	ft lb/°R	1 força de pés - libras ${\displaystyle ={\mbox{1.355 817 948 331 4004}}~J}$
${\displaystyle {\mbox{0.695 034 76 (63)}}}$	cm−1/K	Valor do CODATA[1] ${\displaystyle 1cm^{-1}{hc}={\mbox{1.986 445 683 (87)}}\cdot 10^{-23}~J}$
${\displaystyle {\mbox{0.001 987 2041 (18)}}}$	kcal/(mol·K)	na forma molar, frequentemente usado em mecânica estatística, usa-se caloria termoquímica = 4.184 Joule
${\displaystyle {\mbox{0.008 314 4621 (75)}}}$	kJ/(mol·K)	na forma molar frequentemente usado em mecânica estatística.
${\displaystyle 4.10}$	${\displaystyle pN\cdot nm}$	${\displaystyle k_{B}}$ em nanômetros por piconewton em 24°C, usado na Biofísica.
${\displaystyle {\mbox{-228.599 1678 (40)}}}$	dBW/K/Hz	em decibel watts, usado nas telecomunicações (Veja Ruído de Johnson–Nyquist)
${\displaystyle {\mbox{1.442 695 041}}\cdot \cdot \cdot }$	bit	em bits (logaritmo com base 2), usado na Entropia da informação ${\displaystyle {\bigg (}}$valor exato é ${\displaystyle {\frac {1}{\ln 2}}{\bigg )}}$
${\displaystyle 1}$	nat	em nats (logaritmo com base ${\displaystyle e}$), usado na Entropia da informação (veja Unidades de Planck)

Ver também

• Fórmula de entropia de Boltzmann
• Distribuição de Boltzmann
• Constante física

Referências

1. Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). "CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006". Rev. Mod. Phys. 80 (2): 633–730. Arxiv. doi:10.1103/RevModPhys.80.633.(em inglês)
2. «Resolutions adopted» (PDF) (em inglês). Bureau Internacional de Pesos e Medidas. Consultado em 21 de janeiro de 2019
3. Planck, Max (1901), «Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum» (PDF), Ann. Phys., 309 (3): 553–63, doi:10.1002/andp.19013090310.