Coeficiente de correlação de postos de Spearman

Em estatística, o coeficiente de correlação de postos de Spearman ou rô de Spearman, que recebe este nome em homenagem ao psicólogo e estatístico Charles Spearman, frequentemente denotado pela letra grega ${\displaystyle \rho }$ (rô) ou ${\displaystyle r_{s}}$, é uma medida não paramétrica de correlação de postos (dependência estatística entre a classificação de duas variáveis). O coeficiente avalia com que intensidade a relação entre duas variáveis pode ser descrita pelo uso de uma função monótona.^[1] A correlação de Spearman entre duas variáveis é igual à correlação de Pearson entre os valores de postos daquelas duas variáveis. Enquanto a correlação de Pearson avalia relações lineares, a correlação de Spearman avalia relações monótonas, sejam elas lineares ou não.^[2] Se não houver valores de dados repetidos, uma correlação de Spearman perfeita de +1 ou -1 ocorre quando cada uma das variáveis é uma função monótona perfeita da outra.

Intuitivamente, a correlação de Spearman entre duas variáveis será alta quando observações tiverem uma classificação semelhante (ou idêntica no caso da correlação igual a 1) entre as duas variáveis, isto é, a posição relativa das observações no interior da variável (1º, 2º, 3º, etc.), e baixa quando observações tiverem uma classificação dessemelhante (ou completamente oposta no caso da correlação igual a -1) entre as duas variáveis.

O coeficiente de Spearman é apropriado tanto para variáveis contínuas, como para variáveis discretas, incluindo variáveis ordinais.^[3] Tanto o ${\displaystyle \rho }$ de Spearman, como o ${\displaystyle \tau }$ de Kendall pode ser formulados como casos especiais de um coeficiente de correlação mais geral.

Definição e cálculo

Uma correlação de Spearman igual a 1 ocorre quando as duas variáveis comparadas são monotonamente relacionadas, mesmo se a relação entre elas não for linear. Isto quer dizer que todos os pontos de dados com valores ${\displaystyle x}$ maiores do que o valor de um ponto de dado específico terão valores ${\displaystyle y}$ maiores também. Em contraste, isto não dá uma correlação de Pearson perfeita.

O coeficiente de correlação de Spearman é definido como o coeficiente de correlação de Pearson entre variáveis classificadas em postos.^[4]

Para uma amostra de tamanho ${\displaystyle n}$, os ${\displaystyle n}$ dados brutos ${\displaystyle X_{i},Y_{i}}$ são convertidos em postos ${\displaystyle \operatorname {rg} X_{i},\operatorname {rg} Y_{i}}$ e ${\displaystyle r_{s}}$ é computado a partir de:

${\displaystyle r_{s}=\rho _{\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y}}={\frac {\operatorname {cov} (\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y})}{\sigma _{\operatorname {rg} _{X}}\sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}}},}$

em que

• ${\displaystyle \rho }$ denota o usual coeficiente de correlação de Pearson, mas aplicado às variáveis em postos;
• ${\displaystyle \operatorname {cov} (\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y})}$ é a covariância das variáveis em postos;
• ${\displaystyle \sigma _{\operatorname {rg} _{X}}}$ e ${\displaystyle \sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}}$ são os desvios padrão das variáveis em postos.^[5]

Apenas se todos os postos ${\displaystyle n}$ forem números inteiros distintos, o coeficiente pode ser calculado usando a fórmula popular:

${\displaystyle r_{s}={1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}},}$

em que

• ${\displaystyle d_{i}=\operatorname {rg} (X_{i})-\operatorname {rg} (Y_{i})}$ é a diferença entre os dois postos de cada observação;
• ${\displaystyle n}$ é o número de observações.^[6][7]

Quando há valores idênticos, geralmente se atribui a cada valor um posto fracionário igual à média de suas posições na ordem ascendente dos valores, que é equivalente ao cálculo da média de todas as permutações possíveis.^[8]

Se valores repetidos estiverem presentes nos conjuntos de dados, a equação produz resultados incorretos. Apenas se, em ambas as variáveis, todos os postos forem distintos, então, ${\displaystyle \sigma _{\operatorname {rg} _{X}}\sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}=\operatorname {Var} {\operatorname {rg} _{X}}=\operatorname {Var} {\operatorname {rg} _{Y}}=n(n^{2}-1)/6}$ (vide número tetraédrico ${\displaystyle T_{n-1}}$). A primeira equação — normalizando pelo desvio padrão — pode ser usada até mesmo quando os postos forem normalizados a ${\displaystyle [0;1]}$ ("postos relativos"), porque não é sensível tanto à translação, quanto ao escalonamento linear.

Este método também não deve ser usado em casos em que o conjunto de dados estiver truncado, isto é, quando o coeficiente de correlação de Spearman for desejado para os ${\displaystyle X}$ registros do topo (seja pelos postos pré-mudança, pelos postos pós-mudança ou ambos). Neste caso, deve-se usar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson descrita acima.

O erro padrão ${\displaystyle \sigma }$ do coeficiente foi determinado pelo estatístico britânico Karl Pearson em 1907 e pelo matemático britânico Thorold Gosset em 1920, sendo:

${\displaystyle \sigma _{r_{s}}={\frac {0.6325}{\sqrt {n-1}}}.}$

Quantidades relacionadas

Correlações de postos de Spearman positiva e negativa

Um coeficiente de correlação de Spearman positivo corresponde a uma tendência monotônica crescente entre ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$.

Um coeficiente de correlação de Spearman negativo corresponde a uma tendência monotônica decrescente entre ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$.

Ver artigo principal: Correlação

Há várias outras medidas numéricas que quantificam a intensidade da dependência estatística entre parers de observações. A mais comum é o coeficiente de correlação produto-momento de Pearson, que é um método de correlação semelhante ao coeficiente de correlação de postos de Spearman, que mede as relações "lineares" entre números brutos, não entre seus postos.

Um nome alternativo para a correlação de postos de Spearman é "correlação de grau".^[9] Nesta denominação, o "posto" de uma observação é substituído pelo "grau". Em distribuições contínuas, o grau de uma observação é, por convenção, sempre uma metade menor que o posto. Assim, as correlações entre graus e postos são iguais neste caso. De forma mais generalizada, o "grau" de uma observação é proporcional ao valor estimado da fração de uma população menor que um dado valor, com o ajuste da meia-observação nos valores observados. Assim, isto corresponde a um tratamento possível de postos empatados. Ainda que incomum, o termo "correlação de grau" ainda está em uso.^[10]

Interpretação

O sinal da correlação de Spearman indica a direção da associação entre ${\displaystyle X}$ (a variável independente) e ${\displaystyle Y}$ (a variável dependente). Se ${\displaystyle Y}$ tende a aumentar quando ${\displaystyle X}$ aumenta, o coeficiente de correlação de Spearman é positivo. Se ${\displaystyle Y}$ tende a diminuir quando ${\displaystyle X}$ aumenta, o coeficiente de correlação de Spearman é negativo. Um coeficiente de Spearman igual a zero indica que não há tendência de que ${\displaystyle Y}$ aumente ou diminua quando ${\displaystyle X}$ aumenta. A correlação de Spearman aumenta em magnitude conforme ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ ficam mais próximas de serem funções monótonas perfeitas uma da outra. Quando ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são perfeitamente monotonamente relacionadas, o coeficiente de correlação de Spearman se torna 1. Uma relação crescente monótona perfeita implica que, para quaisquer dois pares de valores de dados ${\displaystyle X_{i},Y_{i}}$ e ${\displaystyle X_{j},Y_{j}}$, X_i − X_j e Y_i − Y_j terão sempre o mesmo sinal. Uma relação decrescente monótona perfeita implica que estas diferenças terão sempre sinais opostos.

O coeficiente de correlação de Spearman é frequentemente descrito como sendo "não paramétrico". Isto pode ter dois sentidos. Em primeiro lugar, uma correlação de Spearman perfeita ocorre quando ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ estão relacionados por qualquer função monótona, em contraste com a correlação de Pearson, que só dá um valor perfeito quando ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ estão relacionadas por uma função linear. O outro sentido em que a correlação de Spearman é não paramétrica se refere ao fato de que sua exata distribuição de amostragem pode ser obtida sem conhecimento (isto é, sem informação sobre os parâmetros) quanto à distribuição de probabilidade conjunta de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$.^[11]

Exemplo

Quando os dados são aproximadamente distribuídos de forma elíptica e não há outliers proeminentes, a correlação de Spearman e a correlação de Pearson dão valores semelhantes.

A correlação de Spearman é menos sensível do que a correlação de Pearson a fortes outliers nas caudas de ambas as amostras. Isto se dá porque o rô de Spearman limita o outlier ao valor de seu posto.

Neste exemplo, os dados brutos na tabela abaixo são usados para calcular a correlação entre o QI de uma pessoa e o número de horas em que assiste televisão por semana.

QI, ${\displaystyle X_{i}}$	Horas de TV por semana, ${\displaystyle Y_{i}}$
106	7
86	0
100	27
101	50
99	28
103	29
97	20
113	12
112	6
110	17

Primeiro, é necessário achar o valor do termo ${\displaystyle d_{i}^{2}}$. Para fazer isto, executam-se os seguintes passos, refletidos na tabela abaixo:

1. Ordene os dados de acordo com a primeira coluna (${\displaystyle X_{i}}$). Crie uma nova coluna ${\displaystyle x_{i}}$ e atribua a esta coluna os valores dos postos ${\displaystyle 1,2,3,...,n}$;
2. Em seguida, ordene os dados de acordo com a segunda coluna (${\displaystyle Y_{i}}$). Crie uma quarta coluna ${\displaystyle y_{i}}$ e, analogamente, atribua a esta coluna os valores dos postos ${\displaystyle 1,2,3,...,n}$;
3. Crie uma quinta coluna ${\displaystyle d_{i}}$ para conter as diferenças entre os postos das duas colunas ${\displaystyle x_{i}}$ e ${\displaystyle y_{i}}$;
4. Crie uma última coluna ${\displaystyle d_{i}^{2}}$ para conter os quadrados dos valores da coluna ${\displaystyle d_{i}}$.

QI, ${\displaystyle X_{i}}$	Horas de TV por semana, ${\displaystyle Y_{i}}$	posto ${\displaystyle x_{i}}$	posto ${\displaystyle y_{i}}$	${\displaystyle d_{i}}$	${\displaystyle d_{i}^{2}}$
86	0	1	1	0	0
97	20	2	6	−4	16
99	28	3	8	−5	25
100	27	4	7	−3	9
101	50	5	10	−5	25
103	29	6	9	−3	9
106	7	7	3	4	16
110	17	8	5	3	9
112	6	9	2	7	49
113	12	10	4	6	36

Calculados os valores ${\displaystyle d_{i}^{2}}$, são somados para encontrar ${\displaystyle \sum d_{i}^{2}=194}$. O valor de ${\displaystyle n}$ é 10. Agora, estes valores podem ser substituidos na equação ${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}$:

${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}},}$

o que resulta em ρ = −29/165 = −0,175757575... com um valor-p igual a 0,627188, usando a distribuição t de Student.

Este valor baixo mostra que a correlação entre QI e número de horas na frente da TV é muito baixa, ainda que o valor negativo sugira que, quanto mais tempo se passa assistindo televisão, mais baixo o QI. No caso de empates nos dados originais, esta fórmula não deve ser usada. Em vez disso, o coeficiente de correlação de Pearson deve ser calculado nos postos (quando se atribuem postos aos empates, como descrito acima).

Determinação da significância

Gráfico dos dados apresentados. É possível observar que pode haver uma correlação negativa, mas que a relação não parece definitiva.

Uma abordagem para testar se um valor observado de ${\displaystyle \rho }$ é significantemente diferente de zero (${\displaystyle r}$ sempre se manterá entre -1 e 1) consiste em calcular a probabilidade de que seria maior ou igual ao ${\displaystyle r}$ observado, dada a hipótese nula, ao usar um teste de permutação. Uma vantagem desta abordagem é que ela automaticamente leva em conta o número de valores empatados de dados na amostra e a forma como são tratados ao computar a correlação de postos.^[12]

Uma abordagem faz paralelo ao uso da transformação de Fisher no caso do coeficiente de correlação produto-momento de Pearson, isto é, intervalos de confiança e testes de hipóteses relativos ao valor da população ${\displaystyle \rho }$ podem ser conduzidos usando a transformação de Fisher:^[13]

${\displaystyle F(r)={1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}=\operatorname {artanh} (r).}$

Se ${\displaystyle F(r)}$ for a transformação de Fisher de ${\displaystyle r}$, o coeficiente de correlação de postos de Spearman amostral, e ${\displaystyle n}$ for o tamanho da amostra, então:

${\displaystyle z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)}$

é um escore padronizado para ${\displaystyle r}$ que segue aproximadamente uma distribuição normal padrão sob a hipótese nula da independência estatística (${\displaystyle \rho =0}$).^[14][15]

Pode-se também testar por significância usando:

${\displaystyle t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}}}$

que é aproximadamente distribuído como a distribuição t de Student com ${\displaystyle n-2}$ graus de liberdade sob a hipótese nula.^[16] Uma justificação para este resultado se baseia em um argumento de permutação.^[17]

Uma generalização do coeficiente de Spearman é útil na situação em que há três ou mais condições, uma quantidade de sujeitos é toda observada em cada uma delas e se prevê que as observações terão uma ordem particular. Por exemplo, cada sujeito deste grupo será avaliado três vezes fazendo a mesma tarefa e se prevê que a performance melhorará a cada avaliação. Um teste da significância da tendência entre condições nesta situação foi desenvolvido por Ellis Batten Page, sendo usualmente chamado de teste de tendência de Page para alternativas ordenadas.^[18]

Análise de correspondência baseada no rô de Spearman

A análise de correspondência clássica é um método estatístico que dá um escore para todo valor de duas variáveis nominais. Desta forma, o coeficiente de correlação de Pearson entre eles é maximizado.

Há um equivalente deste método, chamado de análise de correspondência de grau, que maximiza o rô de Spearman e o tau de Kendall.^[19]

Ver também

• Coeficiente de correlação de Pearson
• Coeficiente de correlação tau de Kendall
• Desigualdade do rearranjo

Referências

1. Spearman, C. (1904). «The Proof and Measurement of Association between Two Things». The American Journal of Psychology. 15 (1): 72–101. doi:10.2307/1412159
2. Kendall, Maurice George; Gibbons, Jean Dickinson (1990). Rank correlation methods (em inglês). [S.l.]: E. Arnold
3. Lehman, Ann; O'Rourke, Norm; Hatcher, Larry; Stepanski, Edward (2013). JMP for Basic Univariate and Multivariate Statistics: Methods for Researchers and Social Scientists, Second Edition (em inglês). [S.l.]: SAS Institute. ISBN 9781612906034
4. Myers, Jerome L.; Well, Arnold D.; Jr, Robert F. Lorch (11 de janeiro de 2013). Research Design and Statistical Analysis: Third Edition (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 9781135811631
5. Daniel, Wayne W. (30 de junho de 2000). Applied Nonparametric Statistics (em inglês). [S.l.]: Duxbury. ISBN 9780534381943
6. Hollander, Myles; Wolfe, Douglas A.; Chicken, Eric (25 de novembro de 2013). Nonparametric Statistical Methods (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118553299
7. Spiegel, M. R. (1985). Estatistica; resumo da teoria 875 problemas resolvidos 619 problemas propostos. [S.l.]: Fundacao CARGILL
8. Dodge, Yadolah (15 de abril de 2008). The Concise Encyclopedia of Statistics (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9780387317427
9. Yule, George Udny; Kendall, Maurice (1950). An Introduction to the Theory of Statistics. G. Udny Yule, ... and M.G. Kendall, ... 14th Edition Revised and Enlarged (em inglês). [S.l.]: C. Griffin
10. Piantadosi, Julia; Howlett, Phil; Boland, John (maio de 2007). «Matching the grade correlation coefficient using a copula with maximum disorder». Journal of Industrial and Management Optimization. 3 (2). Consultado em 19 de julho de 2017. Arquivado do original em 3 de dezembro de 2013
11. Corder, Gregory W.; Foreman, Dale I. (20 de setembro de 2011). Nonparametric Statistics for Non-Statisticians: A Step-by-Step Approach (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118211250
12. Bonett, Douglas G.; Wright, Thomas A. (1 de março de 2000). «Sample size requirements for estimating pearson, kendall and spearman correlations». Psychometrika (em inglês). 65 (1): 23–28. ISSN 0033-3123. doi:10.1007/BF02294183
13. Caruso, John C.; Cliff, Norman (2 de julho de 2016). «Empirical Size, Coverage, and Power of Confidence Intervals for Spearman's Rho». Educational and Psychological Measurement (em inglês). 57 (4): 637–654. doi:10.1177/0013164497057004009
14. Choi, S. C. (1 de dezembro de 1977). «Tests of equality of dependent correlation coefficients». Biometrika. 64 (3): 645–647. ISSN 0006-3444. doi:10.1093/biomet/64.3.645
15. Fieller, E. C.; Hartley, H. O.; Pearson, E. S. (1 de dezembro de 1957). «TESTS FOR RANK CORRELATION COEFFICIENTS. I». Biometrika. 44 (3-4): 470–481. ISSN 0006-3444. doi:10.1093/biomet/44.3-4.470
16. Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (7 de fevereiro de 2002). Numerical Recipes in C++: The Art of Scientific Computing (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521750332
17. The Advanced Theory of Statistics. Vol. 2: Inference and: Relationsship (em inglês). [S.l.]: Griffin. 1973
18. Page, Ellis Batten (1 de março de 1963). «Ordered Hypotheses for Multiple Treatments: A Significance Test for Linear Ranks». Journal of the American Statistical Association. 58 (301): 216–230. ISSN 0162-1459. doi:10.2307/2282965
19. Kowalczyk, Teresa; Pleszczynska, Elzbieta; Ruland, Frederick (6 de dezembro de 2012). Grade Models and Methods for Data Analysis: With Applications for the Analysis of Data Populations (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 9783540399285

Ligações externas

• Cópulas vs. Correlações por Eric Torkia para Crystal Ball Analytics Services (em inglês)
• Tabela de valores críticos de ρ para significância com amostras pequenas no portal da Universidade de Sussex (em inglês)
• Fórmula usada quando há empates no VassarStats (em inglês)
• Coeficiente de correlação de postos de Spearman no Handbook of Biological Statistics (em inglês)

• Portal de probabilidade e estatística