Coeficiente de correlação de Pearson

Em estatística descritiva, o coeficiente de correlação de Pearson, também chamado de "coeficiente de correlação produto-momento" ou simplesmente de "ρ de Pearson" mede o grau da correlação (e a direcção dessa correlação - se positiva ou negativa) entre duas variáveis de escala métrica (intervalar ou de rácio/razão).

Este coeficiente, normalmente representado por ρ assume apenas valores entre -1 e 1.

• ${\displaystyle \rho =1}$ Significa uma correlação perfeita positiva entre as duas variáveis.
• ${\displaystyle \rho =-1}$ Significa uma correlação negativa perfeita entre as duas variáveis - Isto é, se uma aumenta, a outra sempre diminui.
• ${\displaystyle \rho =0}$ Significa que as duas variáveis não dependem linearmente uma da outra. No entanto, pode existir uma dependência não linear. Assim, o resultado ${\displaystyle \rho =0}$ deve ser investigado por outros meios.

Cálculo

Calcula-se o coeficiente de correlação de Pearson segundo a seguinte fórmula:

${\displaystyle \rho ={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}={\frac {\operatorname {cos} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {var} (X)\cdot \operatorname {var} (Y)}}}}$

onde ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ e ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}}$ são os valores medidos de ambas as variáveis. Para além disso

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

e

${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}y_{i}}$ são as médias aritméticas de ambas as variáveis.^[1]

A análise correlacional indica a relação entre 2 variáveis lineares e os valores sempre serão entre +1 e -1. O sinal indica a direção, se a correlação é positiva ou negativa, e o tamanho da variável indica a força da correlação.

Cabe observar que, como o coeficiente é concebido a partir do ajuste linear, então a fórmula não contém informações do ajuste, ou seja, é composta apenas dos dados.

Interpretando ρ {\displaystyle \rho } [2]

• 0.9 para mais ou para menos indica uma correlação muito forte.
• 0.7 a 0.9 positivo ou negativo indica uma correlação forte.
• 0.5 a 0.7 positivo ou negativo indica uma correlação moderada.
• 0.3 a 0.5 positivo ou negativo indica uma correlação fraca.
• 0 a 0.3 positivo ou negativo indica uma correlação desprezível.

Interpretação geométrica

As duas séries de valores ${\displaystyle X(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ e ${\displaystyle Y(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ podem ser consideradas como vetores em um espaço de n dimensões. ${\displaystyle X(x_{1}-{\bar {x}},\ldots ,x_{n}-{\bar {x}})}$ e ${\displaystyle Y(y_{1}-{\bar {y}},\ldots ,y_{n}-{\bar {y}})}$.

O cosseno do ângulo α entre estes vetores é dado pela fórmula (produto escalar normado):

${\displaystyle \cos(\alpha )={\dfrac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$

Portanto ${\displaystyle \cos(\alpha )=\rho }$

O coeficiente de correlação não é outro senão o cosseno do ângulo α entre os dois vetores!

Se ${\displaystyle \rho }$ = 1, o ângulo α = 0, os dois vetores são colineares (paralelos).

Se ${\displaystyle \rho }$ = 0, o ângulo α = 90°, os dois vetores são ortogonais.

Se ${\displaystyle \rho }$ = -1, o ângulo α = 180°, os dois vetores são colineares com sentidos opostos.

Mais geralmente : ${\displaystyle \alpha =\arccos(\rho )}$, (${\displaystyle \arccos }$ é a inversa da função cosseno).

Referências

1. «Coeficiente de Pearson». leg.ufpr.br. Consultado em 27 de maio de 2024
2. Mukaka, M.M. «Statistics Corner: A guide to appropriate uso of Correlation coefficient in medical research». Malawai Medical Journal. PMC 3576830. Consultado em 4 de janeiro de 2016