Coeficiente de correlação tau de Kendall

Em estatística, o coeficiente de correlação de postos de Kendall, comumente chamado de coeficiente tau de Kendall (devido à letra grega τ), é uma estatística usada para medir a correlação de postos entre duas quantidades medidas. Um teste tau é um teste de hipóteses não paramétrico referente à dependência estatística baseada no coeficiente tau.

É uma medida de correlação de postos, ou seja, verifica a semelhança entre as ordens dos dados quando classificados por cada uma das quantidades. Recebe este nome em homenagem ao estatístico britânico Maurice Kendall, que o desenvolveu em 1938.^[1] O filósofo alemão Gustav Fechner propôs uma medida semelhante no contexto das séries temporais em 1897.^[2]

Intuitivamente, a correlação de Kendall entre duas variáveis será elevada se as observações tiverem uma classificação semelhante (ou idêntica no caso de correlação igual a 1), comparadas as duas variáveis. Por classificação, entende-se a descrição das posições relativas das observações no interior de cada variável. A correlação de Kendall será baixa quando as observações tiverem uma classificação diferente (ou completamente diferente no caso de correlação igual a -1) comparadas as duas variáveis.^[3]

Tanto o coeficiente ${\displaystyle \tau }$, como o coeficiente ${\displaystyle \rho }$ de Spearman podem ser formulados como casos especiais de um coeficiente de correlação geral.

Definição

Considere ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, ..., ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ um conjunto de observações das variáveis aleatórias conjuntas ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ respectivamente, tal que todos os valores de ${\displaystyle (x_{i})}$ e ${\displaystyle (y_{i})}$ sejam únicos. Qualquer par de observações ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ e ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$, em que ${\displaystyle i\neq j}$, é concordante se as classificações de ambos os elementos concordarem uma com a outra, isto é, se ${\displaystyle x_{i}>x_{j}}$ e ${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$ ou se ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ e ${\displaystyle y_{i}<y_{j}}$. Elas são discordantes se ${\displaystyle x_{i}>x_{j}}$ e ${\displaystyle y_{i}<y_{j}}$ ou se ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ e ${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$. Se ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ou ${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$, o par não é nem concordante, nem discordante.

O coeficiente ${\displaystyle \tau }$ de Kendall é definido como:

${\displaystyle \tau ={\frac {({\text{quantidade de pares concordantes}})-({\text{quantidade de pares discordantes}})}{n(n-1)/2}}.}$^[4]

Propriedades

• O denominador é o número total de combinações de pares, então, o coeficiente deve estar no intervalo ${\displaystyle -1\leq \tau \leq 1}$.

• Se a concordância entre as duas classificações for perfeita (isto é, se as duas classificações forem iguais), o coeficiente tem valor 1.
• Se a discordância entre as duas classificações for perfeita (isto é, se uma classificação for o reverso da outra), o coeficiente tem valor -1.
• Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ forem independentes, espera-se que o coeficiente seja próximo de zero.

Teste de hipóteses

O coeficiente de postos de Kendall é frequentemente usado como uma estatística de teste em um teste de hipóteses para estabelecer se duas variáveis podem ser consideradas estatisticamente dependentes. O teste é não paramétrico, já que não se apoia em pressupostos sobre as distribuições de ${\displaystyle X}$ ou ${\displaystyle Y}$ ou a distribuição de ${\displaystyle (X,Y)}$.

Sob a hipótese nula da independência de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, a distribuição amostral de ${\displaystyle \tau }$ tem valor esperado igual a zero.^[5] Esta distribuição não pode ser caracterizada em termos de distribuições comuns, mas pode ser calculada com exatidão para pequenas amostras.^[6] No caso de amostras maiores, é comum usar uma aproximação da distribuição normal com média zero e variância igual a:

${\displaystyle {\frac {2(2n+5)}{9n(n-1)}}}$.^[7]

Repetições

Um par ${\displaystyle \{(x_{i},y_{i}),(x_{j},y_{j})\}}$ é considerado empatado se ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ou ${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$. Um par empatado não é concordante, nem discordante. Quando pares empatados aparecem nos dados, o coeficiente pode ser modificado de várias maneiras para que se mantenha no intervalo ${\displaystyle [-1,1]}$.

Tau-a

A estatística de Tau-a testa a razão de possibilidades de tabelas de contingência. Ambas as variáveis devem ser ordinais. Tau-a não fará ajustes para empates. É definida como:

${\displaystyle \tau _{A}={\frac {n_{c}-n_{d}}{n_{0}}}}$

em que ${\displaystyle n_{c}}$, ${\displaystyle n_{d}}$ e ${\displaystyle n_{0}}$ são definidas na próxima seção.

Tau-b

A estatística de Tau-b, diferentemente de Tau-a, faz ajustes para empates.^[8] Valores de Tau-b variam entre -1 (associação 100% negativa ou inversão perfeita) e +1 (associação 100% positiva ou concordância perfeita). Sendo igual a zero, indica ausência de associação.

O coeficiente Tau-b de Kendall é definido como:

${\displaystyle \tau _{B}={\frac {n_{c}-n_{d}}{\sqrt {(n_{0}-n_{1})(n_{0}-n_{2})}}}}$

em que

• ${\displaystyle n_{0}=n(n-1)/2}$;
• ${\displaystyle n_{1}=\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)/2}$;
• ${\displaystyle n_{2}=\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)/2}$;
• ${\displaystyle n_{c}}$ é o número de pares concordantes;
• ${\displaystyle n_{d}}$ é o número de pares discordantes;
• ${\displaystyle t_{i}}$ é o número de valores empatados no ${\displaystyle i}$-ésimo grupo de empates para a primeira quantidade;
• ${\displaystyle u_{j}}$ é o número de valores empatados no ${\displaystyle j}$-ésimo grupo de empates para a segunda quantidade.

Tau-c

A estatística de Tau-c (também chamada de Tau-c de Stuart-Kendall) difere de Tau-b na medida em que é mais adequada para tabelas retangulares do que para tabelas quadradas.

Testes de significância

Quando duas quantidades são estatisticamente independentes, a distribuição de ${\displaystyle \tau }$ não é facilmente caracterizável em termos de distribuições conhecidas.^[9] Entretanto, para ${\displaystyle \tau _{A}}$, a seguinte estatística, ${\displaystyle z_{A}}$, é aproximadamente distribuída como uma normal padrão quando as variáveis são estatisticamente independentes:

${\displaystyle z_{A}={3(n_{c}-n_{d}) \over {\sqrt {n(n-1)(2n+5)/2}}}}$

Assim, para testar se as duas variáveis são estatisticamente dependentes, computa-se ${\displaystyle z_{A}}$ e encontra-se a probabilidade cumulativa para a distribuição normal padrão em ${\displaystyle -|z_{A}|}$. Para um teste bicaudal, multiplica-se aquele número por dois para obter o valor-p. Se o valor-p, estiver abaixo de um dado nível de significância, rejeita-se a hipótese nula (àquele nível de significância) de que as quantidades são estatisticamente independentes.

Numerosos ajustes devem ser acrescentados a ${\displaystyle z_{A}}$ quando se levam em conta os empates. A seguinte estatística, ${\displaystyle z_{B}}$, tem distribuição igual à distribuição ${\displaystyle \tau _{B}}$ e é mais uma vez aproximadamente igual à distribuição normal padrão quando as quantidades forem estatisticamente independentes:

${\displaystyle z_{B}={n_{c}-n_{d} \over {\sqrt {v}}}}$

em que

• ${\displaystyle v=(v_{0}-v_{t}-v_{u})/18+v_{1}+v_{2}}$;
• ${\displaystyle v_{0}=n(n-1)(2n+5)}$;
• ${\displaystyle v_{t}=\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)(2t_{i}+5)}$;
• ${\displaystyle v_{u}=\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)(2u_{j}+5)}$;
• ${\displaystyle v_{1}=\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)/(2n(n-1))}$;
• ${\displaystyle v_{2}=\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)(t_{i}-2)\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)(u_{j}-2)/(9n(n-1)(n-2))}$.

Ver também

• Correlação
• Coeficiente de correlação de postos de Spearman

Referências

1. Kendall, M. G. (1 de junho de 1938). «A NEW MEASURE OF RANK CORRELATION». Biometrika. 30 (1-2): 81–93. ISSN 0006-3444. doi:10.1093/biomet/30.1-2.81
2. Kruskal, William H. (1 de dezembro de 1958). «Ordinal Measures of Association». Journal of the American Statistical Association. 53 (284): 814–861. ISSN 0162-1459. doi:10.2307/2281954
3. Kendall, Maurice George (1 de janeiro de 1970). Rank Correlation Methods (em inglês). [S.l.]: Griffin. ISBN 9780852641996
4. «Kendall tau metric - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 21 de junho de 2017
5. Daniel, Wayne W. (1990). Applied nonparametric statistics (em inglês). [S.l.]: PWS-Kent Publ. ISBN 9780534919764
6. Bonett, Douglas G.; Wright, Thomas A. (1 de março de 2000). «Sample size requirements for estimating pearson, kendall and spearman correlations». Psychometrika (em inglês). 65 (1): 23–28. ISSN 0033-3123. doi:10.1007/bf02294183
7. «Kendall coefficient of rank correlation - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 21 de junho de 2017
8. Agresti, Alan (6 de julho de 2012). Analysis of Ordinal Categorical Data (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118209998
9. Abdi, Hervé (2007). «The Kendall Rank Correlation Coefficient». In: Salkind, Neil. Encyclopedia of Measurement and Statistics (PDF). Thousand Oaks (Califórnia): Sage. Consultado em 21 de junho de 2017

Ligações externas

• Software on-line para computar coeficiente de correlação tau de Kendall

• Portal de probabilidade e estatística