Calota esférica

Uma calota esférica, em geometria, é a parte de uma esfera cortada por um plano. Se tal plano passa pelo centro da esfera, logicamente, a altura da calota é igual ao raio da esfera, e a calota esférica será uma hemiesfera (semiesfera).

Calota esférica 3D

Se o raio da esfera é ${\displaystyle r,}$ o raio da base da calota ${\displaystyle a,}$ e a altura da calota ${\displaystyle h,}$ o volume da calota esférica será:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})}$

Outra expressão para encontrar o volume da calota esférica, em função do raio da esfera e da altura h, é:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)}$

e a área superficial da calota esférica ${\displaystyle 2\pi rh.}$

Demonstracão da fórmula do volume da calota

O volume de uma abertura de ângulo sólido subtraído do volume do cone interior a essa abertura representa o volume da calota esférica, logo, tem-se:

Volume da abertura(V1):

Recorde-se que, pela definição de ângulo sólido, o volume de abertura subentendido pelo ângulo sólido é proporcional ao volume da esfera. Ou seja, isso se traduz para:

${\displaystyle V1={\frac {\Omega }{4\pi }}Volume_{esfera}}$, onde é sabido que, para este caso, ${\displaystyle \Omega ={\frac {A_{calota}}{r^{2}}}}$. Por conseguinte, tem-se:

${\displaystyle V1={\frac {Area_{calota}}{Area_{esfera}}}Volume_{esfera}}$

${\displaystyle V1={\frac {2\pi rh}{4\pi r^{2}}}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

${\displaystyle V1={\frac {2}{3}}\pi r^{2}h}$

Volume do cone(V2):

${\displaystyle V2={\frac {\pi h}{3}}(2r-h)(r-h)}$

Volume da calota esférica:

${\displaystyle V1-V2=V_{calota}={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)}$ ^[1]

Referências

1. Deriving the Integral for the Surface Area of a Sphere - mathforum.org