Autovetor generalizado

Em álgebra linear, um autovetor generalizado (em inglês: generalized eigenvector) de uma matriz quadrada ${\displaystyle A}$ de ordem n é um vetor de ordem n que satisfaz certos critérios que são mais fracos que aqueles de um autovetor ordinário.^[1]

Seja ${\displaystyle V}$ um espaço vetorial n-dimensional; seja ${\displaystyle \phi }$ uma transformação linear em L(V), o conjunto de todas as transformações lineares de ${\displaystyle V}$ sobre si mesmo; e seja ${\displaystyle A}$ a representação matricial de ${\displaystyle \phi }$ em relação a alguma base ordenada.

Pode não haver sempre um conjunto completo de n autovetores linearmente independentes de ${\displaystyle A}$ que formam uma base completa de ${\displaystyle V}$. Isto é, a matriz ${\displaystyle A}$ pode não ser diagonalizável.^[2][3] Isto ocorre quando a multiplicidade algébrica de pelo menos um autovalor ${\displaystyle \lambda _{i}}$ é maior que sua multiplicidade geométrica (a nulidade da matriz ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$, ou a dimensão de seu espaço nulo). Neste caso, ${\displaystyle \lambda _{i}}$ é denominado um autovalor defectivo e ${\displaystyle A}$ é denominada uma matriz defectiva.^[4]

Um autovetor generalizado ${\displaystyle x_{i}}$ correspondendo a ${\displaystyle \lambda _{i}}$, juntamente com a matriz ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$, gera uma cadeia de Jordan de autovetores generalizados linearmente independentes que formam uma base para um subespaço invariante de ${\displaystyle V}$.^[5][6][7]

Usando autovetores generalizados, um conjunto de autovetores linearmente independentes de ${\displaystyle A}$ pode ser estendido para uma base completa para ${\displaystyle V}$.^[8] Esta base pode ser usada para determinar uma matriz quasi-diagonal ${\displaystyle J}$ em forma canônica de Jordan, semelhante a ${\displaystyle A}$, que é de uso prático no cálculo de certas funções matriciais de ${\displaystyle A}$.^[1] A matriz ${\displaystyle J}$ é também útil na solução de sistemas de equações diferenciais ordinárias ${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$ onde ${\displaystyle A}$ não precisa ser diagonalizável.^[3][9]

Visão geral e definição

Existem diversas formas equivalentes de definir um autovetor ordinário.^{[10][11][12][13][14][15][16][17]} Para nossos propósito aqui, um autovetor${\displaystyle \mathbf {u} }$ associado com um autovalor ${\displaystyle \lambda }$ de uma matriz ${\displaystyle A}$ de ordem ${\displaystyle n}$ × ${\displaystyle n}$ é um vetor não nulo para o qual ${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0} }$, sendo ${\displaystyle I}$ a matriz identidade ${\displaystyle n}$ × ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle \mathbf {0} }$ o vetor nulo de ordem ${\displaystyle n}$.^[12] Isto é, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ é o núcleo da transformação linear ${\displaystyle (A-\lambda I)}$. Se ${\displaystyle A}$ tem ${\displaystyle n}$ autovetores linearmente independentes, então ${\displaystyle A}$ é similar a uma matriz diagonal ${\displaystyle D}$. Isto é, existe uma matriz inversível ${\displaystyle M}$ tal que ${\displaystyle A}$ é diagonalizável através da transformação similar ${\displaystyle D=M^{-1}AM}$.^[18][19] A matriz ${\displaystyle D}$ é denominada matriz espectral de ${\displaystyle A}$. A matriz ${\displaystyle M}$ é denominada matriz modal de ${\displaystyle A}$.^[20] Matrizes diagonalizáveis são de particular interesse, por funções matriciais poderem ser facilmente computadas.^[21]

De outro modo, se ${\displaystyle A}$ não tem ${\displaystyle n}$ autovetores linearmente independentes associados, então ${\displaystyle A}$ não é diagonalizável.^[18][19]

Definição: Um vetor ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ é um autovetor generalizado de grau m da matriz ${\displaystyle A}$ e correspondente ao autovalor ${\displaystyle \lambda }$ se

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} }$

mas

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .}$ ^[1]

Claramente, um autovetor generalizado de grau 1 é um autovetor ordinário.^[22] Toda matriz ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ × ${\displaystyle n}$ tem ${\displaystyle n}$ autovetores generalizados linearmente independentes associados a ela e pode ser mostrado ser similar a uma matriz "quase diagonal" ${\displaystyle J}$ na forma normal de Jordan.^[23] Isto é, existe uma matriz inversível ${\displaystyle M}$ tal que ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$.^[24] A matriz ${\displaystyle M}$ neste caso é denominada uma matriz modal generalizada de ${\displaystyle A}$.^[25] Se ${\displaystyle \lambda }$ é um autovalor de multiplicidade algébrica ${\displaystyle \mu }$, então ${\displaystyle A}$ terá ${\displaystyle \mu }$ autovetores generalizados linearmente independentes correspondendo a ${\displaystyle \lambda }$.^[8] Este resultado, por sua vez, fornece um método direto para o cálculo de funções matriciais de ${\displaystyle A}$.^[26]

Nota: Para uma matriz ${\displaystyle A}$ de ordem ${\displaystyle n\times n}$ sobre um corpo ${\displaystyle F}$ poder ser expressa na forma normal de Jordan, todos os autovalores de ${\displaystyle A}$ devem estar em ${\displaystyle F}$. Isto é, o polinômio característico ${\displaystyle f(x)}$ deve ser fatorado completamente em fatores lineares. Por exemplo, se ${\displaystyle A}$ tem elementos pertencentes ao conjunto dos números reais, então pode ser necessário que os autovalores e as componentes dos autovetores tenham valores complexos.^[3][4][27]

O conjunto gerado por todos os autovetores generalizados para um dado ${\displaystyle \lambda }$ forma o autoespaço generalizado para ${\displaystyle \lambda }$.^[3]

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos para ilustrar o conceito de autovetores generalizados. Alguns dos detalhes são descritos depois.

Exemplo 1

Este exemplo é simples mas ilustra claramente o problema. Este tipo de matriz é usado frequentemente em livros-texto.^[2][3][28]

Seja

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Então existe apenas um autovalor, ${\displaystyle \lambda =1}$, sendo sua multiplicidade algébrica m = 2.

Note que esta matriz está na forma normal de Jordan, mas não é diagonal. Portanto, esta matriz não é diagonalizável. Como há uma superdiagonal, existe um autovetor generalizado de ordem maior que 1 (ou pode-se notar que o espaço vetorial ${\displaystyle V}$ é de dimensão 2, devendo assim existir no mínimo um autovetor generalizado de grau maior que 1). Alternativamente, pode ser computada a dimensão do núcleo (espaço nulo) de ${\displaystyle A-\lambda I}$ como sendo p = 1, e assim existem m – p = 1 autovetores generalizados de grau maior que 1.

O autovetor ordinário ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ é computado da forma usual. Usando este autovetor é computado o autovetor generalizado ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ resolvendo

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.}$

Explicitando os valores:

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Isto se simplifica como

${\displaystyle v_{22}=1.}$

O elemento ${\displaystyle v_{21}}$ não tem restrições. O autovetor generalizado de grau 2 é então ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}}$, onde a pode assumir qualquer valor escalar. A escolha a = 0 é usualmente a mais simples.

Note que

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},}$

tal que ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ é um autovetor generalizado,

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

tal que ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ é um autovetor ordinário, e que ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ e ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ são linearmente independentes e constituem assim uma base para o espaço vetorial ${\displaystyle V}$.

Exemplo 2

Este exemplo é mais elaborado que o Exemplo 1. Infelizmente é dificultoso elaborar um exemplo interessante de baixa ordem.^[29] A matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}}$

tem autovalores ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}=2}$ com multiplicidades algébricas ${\displaystyle \mu _{1}=2}$ e ${\displaystyle \mu _{2}=3}$, mas multiplicidades geométricas ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ e ${\displaystyle \gamma _{2}=1}$.

Os autoespaços generalizados de ${\displaystyle A}$ são calculados abaixo. ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ é o autovetor ordinário associado com ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ é um autovetor generalizado associado com ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ é o autovetor ordinário associado com ${\displaystyle \lambda _{2}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$ e ${\displaystyle \mathbf {y} _{3}}$ são autovetores generalizados associados com ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.}$

Isto resulta em uma base para cada um dos autoespaços generalizados de ${\displaystyle A}$. Juntamente as duas cadeias de autovetores generalizados cobrem o espaço de todo os vetores colunas 5-dimensionais.

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.}$

Uma matriz "quasi-diagonal" ${\displaystyle J}$ na forma normal de Jordan, similar a ${\displaystyle A}$ é obtida como segue:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},}$

onde ${\displaystyle M}$ é uma matriz modal generalizada para ${\displaystyle A}$, as colunas de ${\displaystyle M}$ são uma base canônica para ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle AM=MJ}$.^[30]

Cadeias de Jordan

Definição: Seja ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ um autovetor generalizado de grau m correspondente à matriz ${\displaystyle A}$ e o autovalor ${\displaystyle \lambda }$. A cadeia gerada por ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ é um conjunto de vetores ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}}$ dado por

${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda I)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-1},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda I)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-2},}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{2}.}$

(1)

Assim, em geral

${\displaystyle \mathbf {x} _{j}=(A-\lambda I)^{m-j}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{j+1}\qquad (j=1,2,\dots ,m-1).}$

(2)

O vetor ${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$, dado pela Eq. (2), é um autovetor generalizado de grau j correspondente ao autovalor ${\displaystyle \lambda }$. Uma cadeia e um conjunto linearmente independente de vetores.^[6]

Base canônica

Ver artigo principal: Base canônica

Definição: Um conjunto de n autovetores generalizados linearmente independentes é uma base canônica se for composto inteiramente de cadeias de Jordan.

Então, uma vez determinado que um autovetor generalizado de posto m é uma base canônica, segue que os m-1 vetores ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$que estão na cadeia de Jordan, gerados por ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$. também estão em base canônica.^[31]

Dado ${\displaystyle \lambda _{i}}$ um autovalor de ${\displaystyle A}$ de multiplicidade algébrica Primeiro, determine os postos das matrizes ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$. O inteiro ${\displaystyle m_{i}}$ é definido como o primeiro inteiro para o qual ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ possui posto ${\displaystyle n-\mu _{i}}$ (n sendo o número de linhas e colunas de ${\displaystyle A}$, isto é, ${\displaystyle A}$ é n × n).

Então define-se:

${\displaystyle \rho _{k}=rank(A-\lambda _{i}I)^{k-1}-rank(A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}$

A variável ${\displaystyle \rho _{k}}$ designa o número de autovetores generalizados linearmente independentes de posto k correspondendo ao autovalor ${\displaystyle \lambda _{i}}$ que aparecerá em uma base canônica de ${\displaystyle A}$. Observa-se que:

${\displaystyle rank(A-\lambda _{i}I)^{0}=rank(I)=n}$.^[32]

Cálculo de autovetores generalizados

Nas seções precedentes vimos técnicas para obter n autovetores generalizados linearmente independentes de uma base canônica para o espaço vetorial ${\displaystyle V}$ associado com uma matriz n × n ${\displaystyle A}$. Estas técnicas podem ser combinadas em um procedimento:

Resolva a equação característica de ${\displaystyle A}$ para os autovalores ${\displaystyle \lambda _{i}}$ e suas multiplicidades algébricas ${\displaystyle \mu _{i}}$;

Para cada ${\displaystyle \lambda _{i}:}$

Determine ${\displaystyle n-\mu _{i}}$;

Determine ${\displaystyle m_{i}}$;

Determine ${\displaystyle \rho _{k}}$ para ${\displaystyle (k=1,\ldots ,m_{i})}$;

Determine cada cadeia de Jordan para ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

Exemplo 3

A matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

tem um autovalor ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$ de multiplicidade algébrica ${\displaystyle \mu _{1}=3}$ e um autovalor ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$ de multiplicidade algébrica ${\displaystyle \mu _{2}=1}$. Temos n = 4. Para ${\displaystyle \lambda _{1}}$ temos ${\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1}$.

${\displaystyle (A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad posto(A-5I)=3.}$

${\displaystyle (A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad posto(A-5I)^{2}=2.}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad posto(A-5I)^{3}=1.}$

O primeiro inteiro ${\displaystyle m_{1}}$ para o qual ${\displaystyle (A-5I)^{m_{1}}}$ tem posto ${\displaystyle n-\mu _{1}=1}$ é ${\displaystyle m_{1}=3}$.

Definimos agora

${\displaystyle \rho _{3}=posto(A-5I)^{2}-posto(A-5I)^{3}=2-1=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=posto(A-5I)^{1}-posto(A-5I)^{2}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=posto(A-5I)^{0}-posto(A-5I)^{1}=4-3=1.}$

Consequentemente, existem três autovetores generalizados linearmente independentes; cada qual de postos 3, 2 a 1. Como ${\displaystyle \lambda _{1}}$ corresponde a uma simples cadeia de três autovetores generalizados linearmente independentes, sabemos que existe um autovetor generalizado ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ de posto 3 correspondente a ${\displaystyle \lambda _{1}}$ tal que

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0} }$

(3)

mas

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} .}$

(4)

As equações (3) e (4) representam sistemas lineares que podem ser resolvidos para ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$. Seja

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.}$

Então

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

e

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Assim, a fim de satisfazer as condições (3) e (4), devemos ter ${\displaystyle x_{34}=0}$ e ${\displaystyle x_{33}\neq 0}$. Nenhuma restrição é imposta sobre ${\displaystyle x_{31}}$ e ${\displaystyle x_{32}}$. Escolhendo ${\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1}$, obtemos

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$

como um autovetor generalizado de posto 3 correspondente a ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$. Note que é possível obter infinitos outros autovetores generalizados de posto 3 escolhendo diferentes valores de ${\displaystyle x_{31}}$, ${\displaystyle x_{32}}$ e ${\displaystyle x_{33}}$, com ${\displaystyle x_{33}\neq 0}$. Nossa primeira escolha, contudo, é a mais simples.^[33]

Agora usando as equações (1), obtemos ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ e ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ como autovetores generalizados de postos 2 e 1 respectivamente,onde

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},}$

e

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

O autovalor simples ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$ pode ser tratado usando técnicas padrão e tem um autovetor ordinário

${\displaystyle \mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.}$

Uma base canônica para ${\displaystyle A}$ é

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}}$ e ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ são autovetores generalizados associados com ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ é o autovetor ordinário associado com ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

Deve ser notado que este é um exemplo simples. Em geral, os números ${\displaystyle \rho _{k}}$ de autovetores generalizados linearmente independentes de posto k não serão sempre iguais. Isto é, pode haver diversas cadeias de comprimentos diferentes correspondentes a um particular autovalor.^[34]

Matriz modal generalizada

Seja ${\displaystyle A}$ uma matriz n × n. Uma matriz modal generalizada ${\displaystyle M}$ para ${\displaystyle A}$ é uma matriz n × n cujas colunas, consideradas como vetores, forma uma base canônica para ${\displaystyle A}$ e aparece em ${\displaystyle M}$ de acordo com as seguintes regras:

• Todas as cadeias de Jordan consistindo de um vetor (isto, um vetor no comprimento) aparece nas primeiras colunas de ${\displaystyle M}$.
• Todos os vetores de uma cadeia aparecem juntos em colunas adjacentes de ${\displaystyle M}$.
• Cada cadeia aparece em ${\displaystyle M}$ na ordem de posto crescente (isto é, o autovetor generalizado de posto 1 aparece antes do autovetor generalizado de posto 2 da mesma cadeia, que aparece antes do autovetor generalizado de posto 3 da mesma cadeia, etc.).^[25]

Forma canônica de Jordan

Um exemplo de uma matriz na forma canônica de Jordan. Os blocos cinza são chamados de blocos de Jordan.

Ver artigo principal: Forma canônica de Jordan

Seja ${\displaystyle V}$ um espaço vetorial n-dimensional; seja ${\displaystyle \phi }$ um mapeamento linear em L(V), o conjunto de todos os mapeamentos lineares de ${\displaystyle V}$ nele mesmo; e seja ${\displaystyle A}$ a representação matricial de ${\displaystyle \phi }$ em relação a alguma base ordenada. Pode ser mostrado que se o polinômio característico ${\displaystyle f(\lambda )}$ de ${\displaystyle A}$ é fatorado em fatores lineares, tal que ${\displaystyle f(\lambda )}$ tem a forma

${\displaystyle f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}},}$

onde ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$ são os distintos autovalores de ${\displaystyle A}$, então cada ${\displaystyle \mu _{i}}$ é a multiplicidade algébrica de seu correspondente autovalor ${\displaystyle \lambda _{i}}$ e ${\displaystyle A}$ é similar a uma matriz ${\displaystyle J}$ na forma canônica de Jordan, onde cada ${\displaystyle \lambda _{i}}$ aparece ${\displaystyle \mu _{i}}$ vezes consecutivas na diagonal principal, e cada componente acima de cada ${\displaystyle \lambda _{i}}$ (isto é, na superdiagonal) tem valor 0 ou 1; o elemento acima da primeira ocorrência de cada ${\displaystyle \lambda _{i}}$ é sempre 0. Todos os outros elementos são zero. Se ${\displaystyle A}$ é diagonalizável, então todos os elementos acima da diagonal são zero.^[35] Note que alguns livros-texto tem os uns na subdiagonal, isto é, imediatamente abaixo da diagonal principal ao invés de na superdiagonal. Os autovalores estão ainda na diagonal principal.^[36][37]

Toda matriz n × n ${\displaystyle A}$ é similar a uma matriz ${\displaystyle J}$ na forma canônica de Jordan, obtida através da transformação similar ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$, onde ${\displaystyle M}$ é uma matriz modal generalizada para ${\displaystyle A}$.^[38] (ver Nota acima.)

Exemplo 4

Determinar a matriz na forma canônica de Jordan que é similar a

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.}$

Solução: A equação característica de ${\displaystyle A}$ é ${\displaystyle (\lambda -2)^{3}=0}$, e então ${\displaystyle \lambda =2}$ é um autovalor de multiplicidade algébrica três. Seguindo o procedimento das seções precedentes temos

${\displaystyle posto(A-2I)=1}$

e

${\displaystyle posto(A-2I)^{2}=0=n-\mu .}$

Assim, ${\displaystyle \rho _{2}=1}$ e ${\displaystyle \rho _{1}=2}$, que implica que a base canônica para ${\displaystyle A}$ contém um autovetor generalizado linearmente independente de posto 2 e dois autovetores generalizados linearmente independentes de posto 1, ou equivalentemente, uma cadeia de dois vetores ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$ e uma cadeia de um vetor ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\}}$. Designando ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}}$, temos

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},}$

e

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},}$

onde ${\displaystyle M}$ é uma matriz modal generalizada para ${\displaystyle A}$, as colunas de ${\displaystyle M}$ são uma base canônica para ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle AM=MJ}$.^[39] Note que desde que autovetores generalizados não são únicos, e desde que algumas das colunas de ambos ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle J}$ podem ser intercambiadas, segue que ambos ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle J}$ não são únicos.^[40]

Exemplo 5

No Exemplo 3 encontramos uma base canônica de autovetores generalizados linearmente independentes para uma matriz ${\displaystyle A}$. Uma matriz modal generalizada para ${\displaystyle A}$ é

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Uma matriz na forma canônica de Jordan, similar a ${\displaystyle A}$ é

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

tal que ${\displaystyle AM=MJ}$.

Aplicações

Funções matriciais

Ver artigo principal: Função matricial

Três das mais fundamentais operações que podem ser aplicadas sobre matrizes quadradas são adição, multiplicação por um escalar e multiplicação de matrizes.^[41] Estas são exatamente as operações necessárias para definir uma função polinomial de uma matriz n × n ${\displaystyle A}$.^[42] Relembrando do cálculo básico que muitas funções podem ser expressas em uma série de Taylor, podemos definir de forma mais geral funções matriciais de forma mais simples.^[43] Se ${\displaystyle A}$ é diagonalizável, isto é

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

com

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}$

então

${\displaystyle D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}}$

e a determinação da série de Taylor para funções de ${\displaystyle A}$ é significativamente simplificada.^[44] Por exemplo, para obter qualquer potência k de ${\displaystyle A}$, basta calcular ${\displaystyle D^{k}}$, premultiplicar ${\displaystyle D^{k}}$ por ${\displaystyle M}$, e posmultiplicar o resultado por ${\displaystyle M^{-1}}$.^[45]

Usandoautovetores generalizados podemos obter a forma canônica de Jordan para ${\displaystyle A}$ e estes resultados podem ser generalizados para um método direto para determinação de funções de matrizes não diagonalisáveis.^[46]

Equações diferenciais

Ver artigo principal: Equação diferencial ordinária

Considere o problema de resolver o sistema linear de equações diferencias ordinárias

${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$

(5)

onde

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},}$      e      ${\displaystyle A=(a_{ij}).}$

Se a matriz ${\displaystyle A}$ é uma matriz diagonal tal que ${\displaystyle a_{ij}=0}$ para ${\displaystyle i\neq j}$, então o sistema (5) reduz-se a um sistema de n equações na forma

${\displaystyle x_{1}'=a_{11}x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}'=a_{22}x_{2}}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle x_{n}'=a_{nn}x_{n}.}$

(6)

Neste caso, a solução geral é dada por

${\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}$

${\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.}$

No caso geral, tenta-se diagonalizar ${\displaystyle A}$ e reduzir (5) para um sistema (6) como a seguir. Se ${\displaystyle A}$ é diagonalizável, então tem-se que ${\displaystyle D=M^{-1}AM}$, onde ${\displaystyle M}$ é a matriz modal de ${\displaystyle A}$. Substituindo a equação ${\displaystyle A=MDM^{-1}}$, (5) toma a forma ${\displaystyle M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )}$, ou

${\displaystyle \mathbf {y} '=D\mathbf {y} ,}$

(7)

onde

${\displaystyle \mathbf {x} =M\mathbf {y} .}$

(8)

A solução de (7) é dada por

${\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}$

${\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.}$

A solução ${\displaystyle \mathbf {x} }$ de (5) é obtida usando a relação (8).^[47]

Por outro lado, se ${\displaystyle A}$ não é diagonalizável, escolhe-se para ${\displaystyle M}$ uma matriz modal generalizada de ${\displaystyle A}$, tal que ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$ é a forma canônica de Jordan normal of ${\displaystyle A}$. O sistema ${\displaystyle \mathbf {y} '=J\mathbf {y} }$ possui a forma

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n},\end{aligned}}}$

(9)

onde ${\displaystyle \lambda _{i}}$ são os autovalores da diagonal principal de ${\displaystyle J}$ e ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ são os uns e zeros da superdiagonal de ${\displaystyle J}$. O sistema (9) normalmente é de resolução mais fácil que (5). Podemos então solucionar (9) para ${\displaystyle y_{n}}$, obtendo ${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}$. Substituímos então essa solução por ${\displaystyle y_{n}}$ na penúltima equação em (9) e resolvemos para ${\displaystyle y_{n-1}}$. Continuando dessa forma resolvemos (9) da última para a primeira equação, resolvendo o sistema inteiro para ${\displaystyle \mathbf {y} }$. A solução ${\displaystyle \mathbf {x} }$ é obtida então usando (8).^[48]

Referências

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2. Beauregard & Fraleigh (1973, p. 310)
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5. Beauregard & Fraleigh (1973, p. 319)
6. Bronson (1970, pp. 194–195)
7. Golub & Van Loan (1996, p. 311)
8. Bronson (1970, p. 196)
9. Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 316–318)
10. Anton (1987, pp. 301–302)
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