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Em matemática, uma σ-álgebra (pronunciada sigma-álgebra) X sobre um conjunto S é uma coleção de subconjuntos de S a qual é fechada sobre operações contáveis de união, interseção e complemento de conjuntos. Estas álgebras são muito usadas para definir medidas em S. O conceito é importante em análise e probabilidade.[1] O par (X, Σ) é chamado espaço mensurável.
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Edições completas: Mecânica estatística • Modelo Hodgkin-Huxley • Neurociência computacional • Modelo probabilístico para redes neurais • Teoria de campo médio • Modelo FitzHugh–Nagumo • Processo Lévy • Cadeias de Markov • Processo de Poisson • Galves–Löcherbach model • Stochastic chains with memory of variable length • Lesão do plexo braquial • Somatotopia • Função densidade • Modelos de grafos aleatórios exponenciais • Processo de Gram-Schmidt • Equação de Chapman–Kolmogorov • Predefinição:Processos estocásticos • Algoritmo de autovalores • Transição de fase • Hipótese do cérebro crítico • Critical brain hypothesis • Passeio aleatório • Plasticidade sináptica • Potencial pós-sináptico excitatório • Potencial pós-sináptico inibitório • Modelo de Morris-Lecar • Plexo braquial • Processo gaussiano • Campo aleatório de Markov • Eletroencefalografia • Modelo de Hindmarsh-Rose • Sistemas de partícula em interação • Medida de Gibbs • Nervo escapular dorsal • Nervo radial • Nervo peitoral lateral • Nervo musculocutâneo • Medida de Dirac • Nervo torácico longo • Sigma-álgebra • Nervo peitoral medial • Nervo ulnar • Potencial evocado • Estimulação magnética transcraniana repetitiva • Teorema de Donsker • Desigualdade de Boole • Codificação neural • Aprendizado de máquina • Independência condicional • Inferência estatística • Nervo subclávio • Nervo supraescapular • Nervo mediano • Nervo axilar • Movimento browniano geométrico • Caminho autoevitante • Tempo local • Nervo subescapular superior • Nervo toracodorsal • Nervo subscapular inferior • Caminho (teoria dos grafos) • Campo aleatório • Lei do logaritmo iterado
Edições em andamento: Nervo cutâneo medial do braço (N) • Nervo cutâneo medial do antebraço (N) • Cérebro estatístico (N) • Statistician brain • Distribuição de probabilidade condicional (N) • Esperança condicional (N) • Integral de Itō (N) • Martingale • Variação quadrática (N) • Processo Ornstein–Uhlenbeck • Ruído branco • Teoria ergódica • Avalanche neuronal (N) • Teoria da percolação (N) • Função totiente de Euler • Ruído neuronal (N) • Distribuição de Poisson • Córtex cerebral • Estímulo (fisiologia)
A σ-álgebra especializa o conceito de conjunto algébrico. Uma álgebra de conjuntos precisa apenas ser fechada sob a união ou interceção de vários subconjuntos finitos.[2]
O uso principal das σ-álgebras é na definição de medidas; especificamente, a coleção daqueles subconjuntos para os quais uma dada medida definida é necessariamente uma σ-álgebra. Este conceito é importante na análise matemática como base para a integração de Lesbesgue e, em teoria da probabilidade, onde ela é interpretada como a coleção de eventos que podem ser atribuídos com probabilidades. Também em probabilidade, σ-álgebras são cruciais na definição de esperança condicional.
Em estatística, (sub) σ-álgebras são necessárias para uma definição matemática formal de suficiência estatística[3]; particularmente quando a estatística é uma função ou um processo aleatório e a noção de densidade condicional não é aplicável.
Se X = {a, b, c, d}, uma possível σ-álgebra em X é Σ = { ∅, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d} }, onde ∅ é o conjunto vazio. Em geral, uma álgebra finita é sempre uma σ-álgebra.
Se {A1, A2, A3, …} é uma partição contável de X, então a coleção de todas as uniões de conjuntos na partição (incluindo o conjunto vazio) é uma σ-álgebra.
Um exemplo mais útil é o conjunto de subconjuntos da reta real que se forma começando com todos os intervalos abertos e a subsequente adição de todas as uniões e intersecções contáveis e complementos relativos num processo continuo (por indução transfinita através de todos os ordinais contáveis) até que as propriedades de fechamento relevantes são alcançadas (uma construção chama de hierarquia de Borel).