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teorema que descreve a probabilidade de um evento, baseado em um conhecimento a priori que pode estar relacionado ao evento Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Em teoria das probabilidades e estatística, o teorema de Bayes (alternativamente, a lei de Bayes ou a regra de Bayes) descreve a probabilidade de um evento, baseado em um conhecimento a priori que pode estar relacionado ao evento. O teorema mostra como alterar as probabilidades a priori tendo em vista novas evidências para obter probabilidades a posteriori.[1] Por exemplo, o teorema de Bayes pode ser aplicado ao jogo das três portas (também conhecido como problema de Monty Hall). [2]
Uma das muitas aplicações do teorema de Bayes é a inferência bayesiana, uma abordagem particular da inferência estatística. Quando aplicado, as probabilidades envolvidas no teorema de Bayes podem ter diferentes interpretações de probabilidade. Com a interpretação bayesiana de probabilidade, o teorema expressa como a probabilidade de um evento (ou o grau de crença na ocorrência de um evento) deve ser alterada após considerar evidências sobre a ocorrência deste evento. A inferência bayesiana é fundamental para a estatística bayesiana.[3]
O teorema de Bayes recebe este nome devido ao pastor e matemático inglês Thomas Bayes (1701 – 1761), que foi o primeiro a fornecer uma equação que permitiria que novas evidências atualizassem a probabilidade de um evento a partir do conhecimento a priori (ou a crença inicial na ocorrência de um evento). O teorema de Bayes foi mais tarde desenvolvido por Pierre-Simon Laplace, que foi o primeiro a publicar uma formulação moderna em 1812 em seu livro Teoria Analítica de Probabilidade, na tradução do francês. Harold Jeffreys colocou o algoritmo de Bayes e a formulação de Laplace em uma base axiomática. Jeffreys escreveu que "o teorema de Bayes é para a teoria da probabilidade o que o teorema de Pitágoras é para a geometria".[4]
O teorema de Bayes recebe este nome devido ao pastor e matemático inglês Thomas Bayes (1701 – 1761), que estudou como calcular a distribuição para o parâmetro de probabilidade de uma distribuição binomial (terminologia moderna). O manuscrito não publicado de Bayes foi editado significativamente por Richard Price antes de ser lido postumamente na Royal Society. Price editou o principal trabalho de Bayes An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances (1763),[5] que aparece em Philosophical Transactions[6] e contém o teorema de Bayes. Price escreveu uma introdução para o artigo, que fornece algumas das bases filosóficas da estatística bayesiana. Em 1765, Price foi eleito membro da Royal Society em reconhecimento ao seu trabalho sobre o legado de Bayes.[7]
O matemático francês Pierre-Simon Laplace reproduziu e estendeu os resultados de Bayes em 1774, aparentemente sem ter conhecimento do trabalho de Bayes.[8][9][10] A interpretação bayesiana da probabilidade foi desenvolvida principalmente por Laplace.[11] Stephen Stigler sugeriu em 1983 que o teorema de Bayes foi descoberto pelo matemático inglês cego Nicholas Saunderson pouco antes de Bayes.[12][13] Entretanto, esta interpretação tem sido contestada.[14] Martyn Hooper[15] e Sharon McGrayne[16] argumentaram que a contribuição de Richard Price foi substancial:
“ | Por padrões modernos, devemos nos referir à regra Bayes–Price. Price descobriu o trabalho de Bayes, reconheceu sua importância, corrigiu–o, contribuiu para o artigo e encontrou um uso para ele. A convenção moderna de empregar apenas o nome de Bayes é injusta, mas tão arraigada que faz todo o resto não ter quase nenhum sentido.[16] | ” |
O teorema de Bayes é um corolário da lei da probabilidade total, expresso matematicamente na forma da seguinte equação:
,
em que e são eventos e .[17][18]
O teorema de Bayes também pode ser escrito da seguinte maneira:
Seja um teste de drogas 99% sensível e 99% específico. Isto é, o teste produzirá 99% de resultados verdadeiros positivos para usuários de drogas e 99% de resultados verdadeiros negativos para não-usuários de drogas. Suponha que 0,5% das pessoas são usuárias de drogas. Se um indivíduo selecionado aleatoriamente testar positivo, qual a probabilidade de ele ser usuário de drogas? Isto é, qual a probabilidade de não se cometer um falso positivo?[20]
Mesmo com a aparente precisão do teste, se um indivíduo testar positivo, é mais provável que ele não seja do que ele seja usuário de drogas. Isto porque o número de não-usuários é muito maior que o número de usuários de drogas. Então, o número de falsos positivos supera o número de positivos verdadeiros. Para usar números concretos, se 1000 indivíduos forem testados, espera–se que 995 não sejam usuários e 5 sejam usuários de drogas. Para os 995 não-usuários de drogas, são esperados falsos positivos. Para os 5 usuários de drogas, são esperados positivos verdadeiros. Isto é, dos 15 resultados positivos, apenas 5 (ou 33%) são genuínos. Isto ilustra a importância da probabilidade condicional e como políticas podem ser equivocadas se as probabilidades condicionais forem negligenciadas.[21][20]
A importância da especificidade pode ser observada calculando–se que, mesmo se a sensibilidade for aumentada para 100% e a especificidade permanecer em 99%, a probabilidade do indivíduo ser um usuário de drogas subirá apenas de 33,2% para 33,4%. Entretanto, se a sensibilidade for mantida em 99% e a especificidade for aumentada para 99,5%, então a probabilidade do indivíduo ser um usuário de droga sobe para cerca de 49,9%.[20]
A interpretação do teorema de Bayes depende da interpretação da probabilidade atribuída aos termos. As duas interpretações principais são descritas abaixo.
Na interpretação bayesiana (ou epistemológica), a probabilidade mede o grau de crença. O teorema de Bayes liga o grau de crença em uma posição antes e depois de se considerar as evidências. Por exemplo, acredita–se com 50% de certeza que uma moeda tem o dobro de probabilidade de cair cara. Se a moeda for jogada várias vezes, o grau de crença pode aumentar, diminuir ou se manter igual dependendo dos resultados observados (ver inferência bayesiana).[22]
Para proposição e evidência :
Na interpretação frequencista, a probabilidade mede uma proporção de resultados. Por exemplo, suponha-se que uma experiência seja realizada muitas vezes. é a proporção de resultados com propriedade e é a proporção de resultados com propriedade . é a proporção de resultados com propriedade , excluindo os resultados sem propriedade , e é a proporção de resultados com propriedade , excluindo os resultados sem propriedade .[23]
O papel do teorema de Bayes é melhor visualizado com o diagrama de árvore. Os dois diagramas dividem os mesmos resultados em e em em ordens opostas, para obter as probabilidades inversas. O teorema de Bayes serve como ligação entre estas diferentes partições.[24]
Por exemplo, um entomologista vê o que poderia ser uma rara subespécie de besouro devido a um padrão em suas costas. Nas subespécies raras, 98% dos indivíduos tem o padrão. Isto é, . Nas subespécies comuns, 5% dos indivíduos tem o padrão. Estas subespécies raras correspondem a apenas 0,1% da população. Então, qual a probabilidade do besouro com padrão ser raro? Em outras palavras, qual o valor de ?[24]
Da expressão estendida do teorema de Bayes (uma vez que qualquer besouro pode ser apenas raro ou comum), tem–se:
Isto é, o besouro com um padrão nas costas encontrado pelo entomologista tem probabilidade de 1,9% de ser raro.[24]
Para eventos e , dado :
.[25]
Na inferência bayesiana, deseja-se saber o grau de crença em um evento (ou conjunto de eventos) , condicionalmente à ocorrência de um evento (ou conjunto de eventos) fixado (quantidade que é conhecida como distribuição a posteriori). O teorema de Bayes mostra que a distribuição a posteriori é proporcional à probabilidade de dado (que corresponde à função de verossimilhança da amostra) vezes a probabilidade de A (chamada de probabilidade a priori ou grau de crença antes da coleta de evidências):
Outra forma do teorema de Bayes que é geralmente encontrada quando são consideradas duas afirmações ou hipóteses concorrentes é:
.[27]
Para proposição e evidência :
Para alguma partição do espaço amostral, muitas vezes o espaço do evento é dado em termos de e . Isto é útil para calcular , usando a lei de probabilidade total:
.[27]
Seja o espaço amostral gerado por duas variáveis aleatórias e . Em princípio, o teorema de Bayes aplica–se aos eventos e . Entretanto, os termos se tornam 0 nos pontos em que qualquer variável tem densidade de probabilidade finita. Para continuar útil, o teorema de Bayes pode ser formulado em termos de densidades relevantes.
Se é contínua e é discreta,
Se é discreta e é contínua,
Se e são contínuas,
em e representam as funções de distribuição de probabilidade de e , respectivamente.[29]
Um espaço de evento contínuo muitas vezes é dado em termos dos termos do numerador. Então, é útil eliminar o denominador usando a lei de probabilidade total. Para , isto se torna uma integral:
A regra da Bayes é o teorema de Bayes na forma de chances:
,
em que
é chamado de fator Bayes ou razão de verossimilhança. As chances entre os dois eventos é simplesmente a razão entre as probabilidades dos dois eventos.
Então,
Portanto, a regra de Bayes afirma que as chances posteriores são as chances iniciais multiplicadas pelo fator de Bayes. Em outras palavras, as probabilidades a posteriori são proporcionais às probabilidades a priori.[30]
O teorema de Bayes pode ser derivado a partir da definição de probabilidade condicional:
pois .
Então,
Logo, ajustando-se os termos, tem-se:
Para duas variáveis aleatórias contínuas e , o teorema de Bayes pode ser analogamente derivado da definição de probabilidade condicional:
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