Lei da probabilidade total

Em teoria das probabilidades, a lei da probabilidade total é uma regra fundamental que relaciona probabilidades marginais e probabilidades condicionais. Ela expressa a probabilidade total de um resultado que pode ser realizado através de vários eventos distintos.

Expressão Formal

A lei da probabilidade total^[1] é a proposição de que se ${\displaystyle \left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}$ é uma partição finita ou infinita contável de um espaço amostral, i.e. um conjunto de eventos disjuntos pares cuja união é todo o espaço da amostra, e cada evento Bn é mensurável, então, para qualquer evento A do mesmo espaço de probabilidade:

${\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\cap B_{n})\,}$

ou, alternativamente,^[1]

${\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}),\,}$

onde, para qualquer ${\displaystyle n\,}$ para que ${\displaystyle \Pr(B_{n})=0\,}$ estes termos são omitidos na soma, pois ${\displaystyle \Pr(A\mid B_{n})\,}$ é finito. A soma pode ser interpretada como uma média ponderada e, por isso, a probabilidade marginal ${\displaystyle \Pr(A)}$ pode ser chamada de "probabilidade média" ("average probability", em inglês).^[2]

A lei da probabilidade total também pode ser indicada para probabilidades condicionais. Tomando o mesmo ${\displaystyle B_{n}}$ acima, e assumindo que ${\displaystyle C}$ é um evento independente com qualquer dos eventos de ${\displaystyle B_{n}}$:

${\displaystyle \Pr(A\mid C)=\sum _{n}\Pr(A\mid C\cap B_{n})\Pr(B_{n}\mid C)=\sum _{n}\Pr(A\mid C\cap B_{n})\Pr(B_{n})}$

Expressão Informal

A expressão matemática acima pode ser interpretada da seguinte forma: "Dado um resultado ${\displaystyle A}$, com probabilidades condicionais conhecidas dado qualquer evento de ${\displaystyle B_{n}}$, cada um com sua probabilidade, qual é a probabilidade total de que ${\displaystyle A}$ vai acontecer?". A resposta para esta questão é ${\displaystyle \Pr(A)}$.

Exemplo

Suponha que duas fábricas forneçam lâmpadas para o mercado. As lâmpadas da fábrica X trabalham por mais de 5 000 horas em 99% dos casos, enquanto as lâmpadas de Y trabalham por mais de 5 000 horas em 95% dos casos. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% das lâmpadas. Qual é a chance de que a lâmpada comprada irá funcionar por mais de 5 000 horas? Aplicando a lei da probabilidade total, nós temos:

${\displaystyle {\Pr(A)=\Pr(A|B_{1})}\cdot {\Pr(B_{1})}+{\Pr(A|B_{2})}\cdot {\Pr(B_{2})}={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}}$,

onde

• ${\displaystyle \Pr(B_{1})={6 \over 10}}$ é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica X
• ${\displaystyle \Pr(B_{2})={4 \over 10}}$ é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica Y
• ${\displaystyle \Pr(A|B_{1})={99 \over 100}}$ é a probabilidade que a lâmpada feita por X vai funcionar por mais de 5 000 h
• ${\displaystyle \Pr(A|B_{2})={95 \over 100}}$ é a probabilidade que a lâmpada feita por Y vai funcionar por mais de 5 000 h

Assim, cada lâmpada comprada tem uma chance de 97,4% para o trabalho por mais de 5 000 horas.

Aplicações

Uma aplicação comum da lei é o lugar onde os eventos coincidem com uma variável aleatória discreta X tomando cada valor em sua faixa, ou seja, ${\displaystyle B_{n}}$ é o evento ${\displaystyle X=x_{n}}$. Segue-se que a probabilidade do evento A é igual ao valor esperado das probabilidades condicionais de um dado ${\displaystyle X=x_{n}}$. Isto é,

${\displaystyle \Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid X=x_{n})\Pr(X=x_{n})=\operatorname {E} [\Pr(A\mid X)],}$

em que ${\displaystyle Pr(A|X)}$ é a probabilidade condicional de um dado valor da variável aleatória X. Esta probabilidade condicional é uma variável aleatória cujo valor depende de X. A probabilidade condicional ${\displaystyle Pr(A|X=x)}$ é simplesmente uma probabilidade condicional de um evento, [X = x]. Sendo uma função de x, por exemplo ${\displaystyle g(x)=Pr(A|X=x)}$. Então a probabilidade condicional Pr(A|X) é g(x), portanto, uma variável aleatória. Esta versão da lei da probabilidade total diz que o valor esperado da variável aleatória é o mesmo que Pr(A). Este resultado pode ser generalizado para variáveis ​​aleatórias contínuas, e a expressão se torna

${\displaystyle \Pr(A)=\operatorname {E} [\Pr(A\mid {\mathcal {F}}_{X})],}$

onde ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$ denota a sigma-álgebra gerada pela variável aleatória X.

Outros Nomes

O termo lei da probabilidade total também é conhecido como lei das alternativas, que é um caso especial da lei da probabilidade total aplicado à variáveis ​​aleatórias discretas. Um autor ainda utiliza a terminologia "lei contínua de alternativas", no caso contínuo.^[3] Este resultado é dado por Geoffrey Grimmett e Welsh^[4] como o teorema de partição, um nome que eles também dão à lei de expectativa total.

Ver também

• Lei da expectativa total (Law of total expectation)
• Lei da variância total (Law of total variance)
• Lei da acumulação total (Law of total cumulance)