Sólido de revolução

Em matemática, engenharia e manufatura, um sólido de revolução é uma figura sólida obtida pela rotação de um plano de curva em torno de alguma linha reta (o eixo), que se situa no mesmo plano.

Rotação de uma curva. A superfície formada é uma superfície de revolução

Revolução de poliedros (Matemateca Ime-Usp)

Supondo que a curva não cruze o eixo, o volume do sólido será igual ao comprimento do círculo descrito pelo centróide da figura, multiplicado pela área da figura (segundo oteorema do centroide de Papo-Guldino).

Um disco representante é um elemento de volume tridimensional de um sólido de revolução. O elemento é criado pela rotação de um segmento de linha (de comprimento w) em torno de algum eixo (localizado r unidades de distância), para que um volume cilíndrico de πr²w unidades seja fechado.

Encontrando o volume

Dois métodos comuns para encontrar o volume de um sólido de revolução são: O método de disco e o método de integração por camada . Para aplicar estes métodos, é mais fácil desenhar o gráfico em questão; identificar a área que está sendo girada em torno do eixo de revolução; determinar o volume de um disco em forma de fatia de um sólido, com espessura δx, ou uma camada cilíndrica de largura δx; e, em seguida, encontrar o limite da soma destes volumes como δx aproximando-se de 0, um valor que pode ser encontrado através da escolha de uma integral apropriada.

Método dos discos

Disco de integração sobre o eixo y

O método dos discos é usado quando a fatia que foi desenhada é perpendicular ao eixo de revolução; isto é, quando a integração é paralela ao eixo de revolução.^[1]

O volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas de f(x) e g(x) e as linhas de x = a e x = b sobre o eixo x é dada por

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx\,.}$

Se g(x) = 0 (e.g. rotacionando uma área entre a curva e o eixo x), esta se reduz a:

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\,.}$

O método pode ser visualizado considerando um fino retângulo horizontal entre y e f(y) na parte superior e g(y) na parte inferior, e tendo sobre o eixo y a forma de um anel (ou disco no caso em que g(y) = 0), com raio externo f(y) e raio interno g(y). A área de um anel é π(R² − r²), onde R é o raio exterior (neste caso, f(y)), e r é o raio interno (neste caso, g(y)). O volume de cada disco infinitesimal é, portanto, πf(y)² dy. O limite de Riemann é a soma dos volumes dos discos entre a e b tornando-se integral (1).

Método do cilindro

A integração de camadas

O método das camadas cilíndricas é utilizado quando a fatia que foi desenhada é paralela ao eixo de revolução; isto é, quando a integração é perpendicular ao eixo de revolução.

O volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas de f(x) e g(x) e as linhas de x = a e x = b sobre o eixo y é dada por:

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.}$

Se g(x) = 0 e.g. rotacionando uma área entre a curva e o eixo y, esta se reduz a:

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.}$

Sólidos em repouso

Sólidos rotacionando formando Sólidos de revolução

O método pode ser visualizado considerando um fino retângulo vertical em x com altura f(x) − g(x), e tendo sobre o eixo y, a forma de uma camada cilíndrica. A área lateral da superfície de um cilindro é 2πrh, onde r é o raio (neste caso, x), e h é a altura (neste caso f(x) − g(x)). Somando-se todas as áreas de superfície ao longo do intervalo teremos o volume total.

Forma paramétrica

Matemática e arte: estudo de um vaso como um sólido de revolução por Paolo Uccello. Século 15

Quando uma curva é definida por sua forma paramétrica (x(t),y(t)) em algum intervalo [a,b], os volumes dos sólidos gerados por rotacionarem a curva em torno do eixo x ou do eixo y são dados por:^[2]

${\displaystyle V_{x}=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,}$

${\displaystyle V_{y}=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.}$

Sob as mesmas circunstâncias, as áreas das superfícies dos sólidos gerados por rotacionarem a curva em torno do eixo x ou do eixo y são dados por^[3]

${\displaystyle A_{x}=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,}$

${\displaystyle A_{y}=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.}$

Veja também

• Superfície de revolução
• Teoremas de Pappus-Guldinus

Notas

1. Sharma, A. K. (2005). Application Of Integral Calculus. [S.l.]: Discovery Publishing House. p. 168. ISBN 81-7141-967-4
2. Application Of Integral Calculus. [S.l.: s.n.] ISBN 81-7141-967-4
3. Engineering Mathematics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-07-014615-2

Referências

• «Volumes of Solids of Revolution». CliffsNotes.com. 12 de Abril de 2011. Consultado em 1 de fevereiro de 2017. Arquivado do original em 19 de março de 2012
• Ayres, Frank; Mendelson, Elliott (2008). Calculus. Col: Schaum's Outlines. [S.l.]: McGraw-Hill Professional. pp. 244–248. ISBN 978-0-07-150861-2 (online copy, p. 244, no Google Livros)
• Weisstein, Eric W. «Solid of Revolution». MathWorld (em inglês)

• Portal da matemática