Rapidez (relatividade)

Na relatividade especial, o conceito clássico de velocidade é convertido em rapidez para acomodar o limite determinado pela velocidade da luz. As velocidades devem ser combinadas pela fórmula de adição de velocidade [en] de Einstein. Para baixas velocidades, rapidez e velocidade são quase exatamente proporcionais, mas, para velocidades mais altas, a rapidez assume um valor maior, sendo a rapidez da luz infinita.

Rapidez é o valor de artanh(v / c) para velocidade v e velocidade de luz c

Matematicamente, a rapidez pode ser definida como o ângulo hiperbólico que diferencia dois quadros de referência (referenciais) em movimento relativo, sendo cada quadro (referencial) associado com coordenadas de distância e tempo.

Usando a função hiperbólica inversa artanh, a rapidez w correspondente à velocidade v é w = artanh(v / c) onde c é a velocidade da luz. Para baixas velocidades, w é aproximadamente v / c. Como na relatividade qualquer velocidade v é restrita ao intervalo −c < v < c, a razão v / c satisfaz −1 < v / c < 1. A tangente hiperbólica inversa tem o intervalo unitário (−1, 1) para seu domínio e toda a linha real [en] para sua imagem [en]; isto é, o intervalo −c < v < c mapeia para −∞ < w < ∞.

História

Em 1908, Hermann Minkowski explicou como a transformação de Lorentz poderia ser vista simplesmente como uma rotação hiperbólica [en] das coordenadas do espaço-tempo, ou seja, uma rotação através de um ângulo imaginário.^[1] Este ângulo, portanto, representa (em uma dimensão espacial) uma simples medida aditiva da velocidade entre os quadros.^[2] O parâmetro de rapidez, que substitui a velocidade, foi introduzido (em 1910) por Vladimir Varićak^[3] e por E. T. Whittaker.^[4] O parâmetro foi denominado rapidez por Alfred Robb (1911)^[5] e este termo foi adotado por muitos autores posteriores, como Ludwik Silberstein (em 1914), Frank Morley (em 1936) e Wolfgang Rindler (em 2001).

Área de um setor hiperbólico

A quadratura [en] da hipérbole xy = 1 de Grégoire de Saint-Vincent estabeleceu o logaritmo natural como a área de um setor hiperbólico, ou uma área equivalente contra uma assíntota. Na teoria do espaço-tempo, a conexão de eventos pela luz divide o universo em passado, futuro ou outro lugar com base no aqui e agora.^{[necessário esclarecer]} Em qualquer linha do espaço, um feixe de luz pode ser direcionado para a esquerda ou para a direita. Tome o eixo x como os eventos passados pelo feixe direito e o eixo y como os eventos do feixe esquerdo. Então um quadro (referencial) em repouso tem tempo ao longo da diagonal x = y. A hipérbole retangular xy = 1 pode ser usada para medir velocidades (no primeiro quadrante). A velocidade zero corresponde a (1, 1). Qualquer ponto na hipérbole tem coordenadas de cone de luz [en] ${\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})}$ onde w é a rapidez e é igual à área do setor hiperbólico de (1, 1) para essas coordenadas. Muitos autores referem-se, em vez disso, à hipérbole unitária [en] ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$, usando a rapidez como parâmetro, como no diagrama de espaço-tempo [en] padrão. Lá, os eixos são medidos por relógio e medidor, referências mais familiares e a base da teoria do espaço-tempo. Portanto, o delineamento da rapidez como parâmetro hiperbólico do espaço-feixe é uma referência^{[necessário esclarecer]} à origem do século XVII de nossas preciosas funções transcendentes e um suplemento à diagramação do espaço-tempo.

Impulso de Lorentz

A rapidez w surge na representação linear de um impulso de Lorentz [en] como um produto vetor-matriz: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}}$$ A matriz Λ(w) é do tipo ${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}}$ com p e q satisfazendo p² – q² = 1, de modo que (p, q) está na hipérbole unitária [en]. Tais matrizes formam o grupo ortogonal indefinido O(1,1) [en] com álgebra de Lie unidimensional expandida pela matriz de unidade anti-diagonal, mostrando que a rapidez é a coordenada nesta álgebra de Lie. Esta ação pode ser representada em um diagrama de espaço-tempo [en]. Na notação exponencial de matriz, Λ(w) pode ser expresso como ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}}$, onde Z é o negativo da matriz da unidade anti-diagonal: $${\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}$$ Uma propriedade chave da matriz exponencial é ${\displaystyle e^{\mathbf {X} (s+t)}=e^{\mathbf {X} s}e^{\mathbf {X} t}}$ da qual segue imediatamente que: $${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2}).}$$ Isso estabelece a propriedade aditiva útil da rapidez: se A, B e C são quadros de referência (referenciais), então: $${\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}}$$ onde w_PQ denota a rapidez de um quadro de referência (referencial) Q em relação a um quadro de referência (referencial) P. A simplicidade desta fórmula contrasta com a complexidade da correspondente fórmula de adição de velocidade [en].

Como podemos ver na transformação de Lorentz acima, o fator de Lorentz se identifica com cosh w: $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w}$$ então a rapidez w é implicitamente usada como um ângulo hiperbólico nas expressões de transformação de Lorentz usando γ e {{Mvar|β}]. Relacionamos rapidezes com a fórmula de adição de velocidade [en]: $${\displaystyle u={\frac {u_{1}+u_{2}}{1+{\frac {u_{1}u_{2}}{c^{2}}}}}}$$ ao reconhecer $${\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}}$$ e assim: $${\displaystyle \tanh w={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}=\tanh(w_{1}+w_{2})}$$ A aceleração própria [en] (a aceleração "sentida" pelo objeto que está sendo acelerado) é a taxa de variação da rapidez em relação ao tempo próprio (tempo medido pelo próprio objeto em aceleração). Portanto, a rapidez de um objeto em um determinado quadro de referência (referencial) pode ser vista simplesmente como a velocidade desse objeto, como seria calculada de forma não relativística por um sistema de orientação inercial a bordo do próprio objeto se ele acelerasse do repouso naquele quadro de referência (referencial) até sua velocidade dada.

O produto de β e γ aparece com frequência e é dos argumentos acima: $${\displaystyle \beta \gamma =\tanh w\cosh w=\sinh w}$$

Relações exponenciais e logarítmicas

Das expressões acima temos: $${\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}}}$$ e assim: $${\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}}$$ ou explicitamente: $${\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]}$$ O fator de desvio de Doppler associado à rapidez w é ${\displaystyle k=e^{w}}$.

Em física de partículas experimental

A energia E e o momento escalar |p| de uma partícula de massa diferente de zero (repouso) m são dadas por: $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma mc^{2}\\\left|\mathbf {p} \right|&=\gamma mv\end{aligned}}}$$ Com a definição de w: $${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}}$$: e assim com: $${\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }$$ $${\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma }$$ a energia e o momento escalar podem ser escritos como: $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}\cosh w\\\left|\mathbf {p} \right|&=mc\,\sinh w\end{aligned}}}$$ Assim, a rapidez pode ser calculada a partir da energia e do momento medidos por: $${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}=\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{mc^{2}}}}$$ No entanto, os físicos de partículas experimentais costumam usar uma definição modificada de rapidez em relação a um eixo de feixe: $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}}}$$ onde p_z é o componente do momento ao longo do eixo do feixe.^[6] Esta é a rapidez do impulso ao longo do eixo do feixe que leva um observador do quadro do laboratório para um quadro no qual a partícula se move apenas perpendicularmente ao feixe. Relacionado a isso está o conceito de pseudorapidez [en].

A rapidez relativa a um eixo de feixe também pode ser expressa como: $${\displaystyle y=\ln {\frac {E+p_{z}c}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}}$$

Ver também

• Teoria da relatividade
• Transformação de Lorentz

Referências

1. Hermann Minkowski, 1908, Equações fundamentais para processos eletromagnéticos em corpos em movimento (em inglês) via Wikisource
2. Sommerfeld, Diário físico (em alemão), 1909
3. Vladimir Varićak, 1910, Aplicação da geometria lobachevskiana na teoria da relatividade (em inglês), Diário físico, via Wikisource
4. E. T. Whittaker, 1910, Uma história das teorias do éter e da eletricidade (em inglês), página 441.
5. Alfred Robb, 1911, Geometria óptica de movimento (em inglês), página 9
6. Amsler, C. et al., "The review of particle physics" (em inglês), Physics letters B, 667 (2008) 1, Seção 38.5.2

Bibliografia

• Vladimir Varićak (1910, 1912, 1924), publicações
• Edmund Taylor Whittaker (1910). A history of the theories of aether and electricity (em inglês). [S.l.: s.n.] p. 441
• Alfred Robb (1911). Optical geometry of motion, a new view of the theory of relativity (em inglês). Cambridge: Heffner & Sons
• Émile Borel (1913), La théorie de la relativité et la cinématique (em francês), Comptes rendus de l'Académie des Sciences, volume 156, páginas 215 – 218; volume 157, páginad 703 – 705, Paris
• Silberstein, Ludwik (1914). The theory of relativity (em inglês). Londres: Macmillan & Co.
• Vladimir Karapetoff (1936), "Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities" (em inglês), American mathematical monthly, volume 43, página 70.
• Frank Morley (1936), "When and where" (em inglês), The criterion (em inglês), editado por Thomas Stearns Eliot, volume 15, páginas 200 – 209.
• Wolfgang Rindler (2001), Relativity: Special, general, and cosmological (em inglês), página 53, Oxford university press.
• Ronald Shaw (1982), Linear algebra and group representations (em inglês), volume 1, página 229, Academic press [en] ISBN 0-12-639201-3.
• Scott Walter (1999). «The non-Euclidean style of Minkowskian relativity» (PDF). In: Jeremy John Gray. The symbolic universe: Geometry and physics (em inglês). [S.l.]: Oxford university press. pp. 91 – 127. Consultado em 8 de janeiro de 2009. Arquivado do original (PDF) em 16 de outubro de 2013 (ver página 17 do e-link)
• Rhodes, J. A.; Semon, M. D. (2004). «Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession». American journal of physics (em inglês). 72 (7): 93 – 90. Bibcode:2004AmJPh..72..943R. arXiv:gr-qc/0501070. doi:10.1119/1.1652040
• John David Jackson (1999) [1962]. «capítulo 11». Classical electrodynamics (em inglês) 3ª ed. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-30932-X