Radiano

O radiano (símbolo: rad ou, mais raramente, ^c) é a razão entre o comprimento de um arco e o seu raio. Ele é a unidade padrão de medida angular utilizada em muitas áreas da matemática. É uma das unidades derivadas do Sistema Internacional. Em algumas situações, o radiano é considerado um número adimensional e a escrita do seu símbolo é pouco utilizada.

Medida angular em radianos

Definição

Radiano (1 rad) é o ângulo definido em um círculo por um arco de circunferência com o mesmo comprimento que o raio do referido círculo.

1 rad = m·m⁻¹ = 1.

Explicação

Um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio r (em vermelho) corresponde a um ângulo de 1 radiano (em verde). A metade da circunferência corresponde a π radianos e uma circunferência completa a 2π.

O radiano é útil para distinguir entre quantidades de diferentes naturezas, mas com a mesma dimensão. Por exemplo, velocidade angular pode ser medida em radianos por segundo (rad/s). Fixando a palavra radiano enfatiza-se o fato de a velocidade angular ser igual a 2π vezes a frequência rotacional.

Na prática, o símbolo rad é usado quando tal for apropriado, mas a unidade derivada "1" é geralmente omitida quando combinada com um valor numérico.

Ângulos medidos em radianos são frequentemente apresentados sem qualquer unidade explícita. Quando, porém, uma unidade é apresentada, tanto o símbolo rad quanto o símbolo ^c (de "circular") costumam ser utilizados. É preciso ter cuidado com este último, em virtude da confusão que pode existir com o símbolo de grau ordinário °.

Existem 2π (aproximadamente 6,28318531) radianos num círculo completo, portanto:

${\displaystyle 2\pi {\mbox{ rad}}=360^{\circ }}$

${\displaystyle 1{\mbox{ rad}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57,\!29577951^{\circ }}$

ou:

${\displaystyle 360^{\circ }=2\pi {\mbox{ rad}}}$

${\displaystyle 1^{\circ }={\frac {2\pi }{360}}{\mbox{ rad}}={\frac {\pi }{180}}{\mbox{ rad}}\approx 0,\!01745329{\mbox{ rad}}}$

Mais genericamente, podemos dizer:

${\displaystyle x{\mbox{ rad}}=x{\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

Se, por exemplo, ${\displaystyle -1,\!570796}$ em radianos foi dado, o ângulo ordinário correspondente seria:

${\displaystyle -1,\!570796{\mbox{ rad}}=-1,\!570796\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=-90^{\circ }}$

Em cálculos, ângulos devem ser representados em radianos nas funções trigonométicas, dado que simplifica e torna as coisas mais naturais. Por exemplo, o uso de radianos leva à identidade com:^[1]

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\mathrm {sen} \,h}{h}}=1}$

que é a base de muitas outras elegantes identidades em matemática, incluindo:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\mathrm {sen} \,x=\cos x}$

Conversões

Um gráfico para converter entre graus e radianos

Conversão de ângulos comuns

Voltas	Radianos	Graus	Grados
0	0	0°	0g
124	π12	15°	162g
112	π6	30°	331g
110	π5	36°	40g
18	π4	45°	50g
12π	1	c. 57.3°	c. 63.7g
16	π3	60°	662g
15	2π5	72°	80g
14	π2	90°	100g
13	2π3	120°	1331g
25	4π5	144°	160g
12	π	180°	200g
34	3π2	270°	300g
1	2π	360°	400g

Referências

1. For a debate on this meaning and use see: Brownstein, K. R. (1997). «Angles—Let's treat them squarely». American Journal of Physics. 65 (7). 605 páginas. doi:10.1119/1.18616, Romain, J.E. (1962). «Angles as a fourth fundamental quantity». Journal of Research of the National Bureau of Standards-B. Mathematics and Mathematical Physics. 66B (3). 97 páginas, LéVy-Leblond, Jean-Marc (1998). «Dimensional angles and universal constants». American Journal of Physics. 66 (9). 814 páginas. doi:10.1119/1.18964, and Romer, Robert H. (1999). «Units—SI-Only, or Multicultural Diversity?». American Journal of Physics. 67. 13 páginas. doi:10.1119/1.19185

Ver também

• Esferorradiano
• Grado