O Princípio de Fermat, em ótica é um princípio do tipo extremo e estabelece que:
"A trajetória percorrida pela luz ao se propagar de um ponto a outro é tal que o tempo gasto em percorrê-la é um mínimo."
Dos três feixes de luz que emergem do ponto roxo apenas os que chegarem ao caminho óptico extremo(máximo ou mínimo) serão caminhos reais de luz.
Este enunciado não é completo e não cobre todos os casos, mas existe uma forma moderna do Princípio de Fermat que diz:
"A trajetória percorrida pela luz ao propagar-se de um ponto a outro é tal que o tempo gasto para percorrê-la é estacionário a respeito das possíveis variações de trajetória."
Isso que dizer que, se expressarmos o trajeto percorrido pela luz entre dois pontos e por meio de uma função chamada caminho ótico definida como a trajetória real da luz seguirá um caminho extremo a respeito desta função:
A característica importante como diz o enunciado, é que as trajetos próximos ao "verdadeiro" requerem tempos aproximadamente iguais. Desta forma, o Princípio de Fermat lembra o Princípio de Hamilton e as Equações de Euler-Lagrange.
Vejamos alguns exemplos da aplicação do princípio para deduzir as leis da Ótica Geométrica.[1]
A equação da trajetória de um raio luminoso real em um sistema ótico é:
e se deduz a partir do Princípio de Fermat.
Aplicando o princípio de Fermat, toda variação sobre uma trajetória de um raio luminoso real deve ser nula. Portanto;
=
Quando a variação sobre os extremos não existe resta que:
portanto o integrando deve se anular e resta a equação da trajetória.[2]
A interpretação da equação é importante. A trajetória permanece no plano e ele que varia o índice de refração .
Isso pode ser observado escrevendo a equação em termos dos vetores unitários e :
Se supormos que um raio de luz sai do ponto A em direção a uma superfície plana, que suponhamos seja refletora, e viaja até um ponto B. Qual será a trajetória seguida pela luz? Neste caso a luz viaja durante todo o caminho pelo mesmo meio, com o mesmo índice de refração e, portanto, com a mesma velocidade. Assim, o tempo necessário para percorrer o caminho entre A e B (passando pela superfície P) será a distância APB dividida pela velocidade da luz no meio. Como a velocidade é uma constante, a trajetória real, que segue o Princípio de Fermat, será a mais curta.[3]
O raio de luz se propaga de A a B passando por P, que é um ponto móvel sobre o eixo das abcissas.
Com o Princípio de Fermat se pode deduzir a Lei de Snell, que afirma que o produto do índice de refração do primeiro meio de propagação com o seno do ângulo de incidência é equivalente ao produto do índice de propagação do segundo meio com o seno do ângulo refratado.[4]
Ao apresentar o fenômeno analiticamente, em um plano cartesiano:
Seja um meio de propagação com índice de refração e um segundo meio de propagação com índice de refração tais que situamos a superfície que separa os dois meios de modo que coincida com o eixo das abcissas.
Sejam e dois pontos fixos situados do plano, de modo que A está situado no primeiro meio, e B no segundo meio.
Seja um raio de luz que se propaga de A a B atravessando a superfície que separa os dois meios no ponto .
O seguinte passo é deduzir o tempo que demora o raio para percorrer e .
Sejam e as velocidades de propagação da luz no primeiro e segundo meio respectivamente.
;
Se buscarmos o valor de quando é mínimo, é equivalente ao encontramos o valor de para o qual a função derivada de assume valor 0.
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca01c283bbdc158a0121e4994cc36706043bc3dd)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]=\delta \int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})ds}=0.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8ed01bc14420c7485e3900643a3159e82d0f85)
![{\displaystyle {\vec {\nabla }}n({\vec {r}})-{\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac882037fbcedbad1c9ebe9a63ee418e7f871fb)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]=\delta \int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})ds}=\int _{O_{1}}^{O_{2}}{\delta (n({\vec {r}}))ds}+\int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})\delta (ds)}=}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90b759d0c7c300127f5131c146096ec3c1a4b62)
![{\displaystyle \int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})\cdot \delta {\vec {r}}ds}+\int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\cdot {\frac {d(\delta {\vec {r}})}{ds}}ds}=\int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})\cdot \delta {\vec {r}}ds}+\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\cdot \delta {\vec {r}}\right]_{O_{1}}^{O_{2}}-\int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]\cdot \delta {\vec {r}}ds}=0.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b3df91c4e033c49d4e9403bc139a8261342f79)
![{\displaystyle \int _{O_{1}}^{O_{2}}{\left[{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})-{\frac {d}{ds}}\left(n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right)\right]\cdot \delta {\vec {r}}ds}=0\qquad \forall \delta {\vec {r}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc45eb35392a91cacf4ae4961eda449056d541d2)
![{\displaystyle {\vec {\nabla }}n({\vec {r}})={\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]={\frac {dn({\vec {r}})}{ds}}{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}+n({\vec {r}}){\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}={\frac {dn({\vec {r}})}{ds}}{\hat {u}}_{t}+{\frac {n({\vec {r}})}{\rho ({\vec {r}})}}{\hat {u}}_{n}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51774eb0bb52914c3f84b9d86a9d3263c16039ea)
