Hebesfenorotunda triangular

Em geometria, a hebesfenorotunda triangular é um dos sólidos de Johnson (J₉₂). É um dos sólidos elementares de Johnson, que não surge a partir de manipulações do tipo "corte e cola" dos sólidos platônicos e arquimedianos. No entanto, ele tem uma forte relação com o icosidodecaedro, um sólido de Arquimedes. O mais evidente é o conjunto de três pentágonos e quatro triângulos em um lado do sólido. Se essas faces estão alinhadas com um padrão de faces congruente do icosidodecaedro, então a face hexagonal irá situar-se no plano a meio caminho entre duas faces triangulares opostas do icosidodecaedro.

Hebesfenorrotunda triangular
Hebesfenorotunda triangular
Tipo	Sólidos de Johnson J91 – J92 - J1
Faces	13 triângulos 3 quadrados 3 pentágonos 1 hexágono
Arestas	36
Vértices	18
Configuração dos vértices	3(33.5) 6(3.4.3.5) 3(3.5.3.5) 2.3(32.4.6)
Grupo de simetria	C3v
Área de superfície	${\displaystyle \left(3+{\frac {19{\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {3}{4}}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\right)a^{2}}$[1]
Propriedades
Ambiquiral, convexo, rígido[1]
Planificação

A hebesfenorotunda triangular é o único sólido de Johnson com faces de 3, 4, 5 e 6 lados.

Coordenadas

As coordenadas da hebesfenorotunda triangular são:

• O triângulo oposto ao hexágono

${\displaystyle \left(0,\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ {\frac {2\phi ^{2}}{\sqrt {3}}}\right)}$, ${\displaystyle \left(\pm 1,\ -{\frac {1}{\sqrt {3}}},\ {\frac {2\phi ^{2}}{\sqrt {3}}}\right)}$

• As bases dos triângulos que cercam o triângulo precedente:

${\displaystyle \left(\pm 1,\ {\frac {\phi ^{3}}{\sqrt {3}}},\ {\frac {2\phi }{\sqrt {3}}}\right)}$, ${\displaystyle \left(\pm \phi ^{2},\ -{\frac {1}{\phi {\sqrt {3}}}},\ {\frac {2\phi }{\sqrt {3}}}\right)}$, ${\displaystyle \left(\pm \phi ,\ -{\frac {\phi +2}{\sqrt {3}}},\ {\frac {2\phi }{\sqrt {3}}}\right)}$

• As pontas dos pentágonos opostas aos vértices do primeiro triângulo:

${\displaystyle \left(\pm \phi ^{2},\ {\frac {\phi ^{2}}{\sqrt {3}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}$, ${\displaystyle \left(0,\ -{\frac {2\phi ^{2}}{\sqrt {3}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}$

• O hexágono

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm {\sqrt {3}},\ 0\right)}$, ${\displaystyle \left(\pm 2,\ 0,\ 0\right)}$

onde ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ é a Razão de Ouro.

Essas coordenadas produzem uma hebesfenorotunda triangular com comprimento de arestas igual a 2, repousando sobre o plano XY pela face hexagonal e tendo seu eixo de simetria de ordem 3 alinhado com o eixo Z. Uma segunda hebesfenorotunda triangular invertida pode ser obtida trocando-se o sinal da segunda e da terceira coordenadas de cada ponto. Esse segundo poliedro, juntado ao primeiro pelas faces hexagonais em comum, se inscreve em um icosidodecaedro. Se a face hexagonal for dimensionada pela razão áurea, então a envoltória convexa dessa união será todo o icosidodecaedro.

Ligações externas

• Hebesfenorotunda triangular

Referências

1. «Sphenocorona». WolframAlpha. Consultado em 10 de maio de 2017

• Portal da matemática
• Portal da geometria

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