Transformada de Legendre

A transformada de Legendre consiste em uma transformação matemática que, quando aplicada sobre uma função ${\displaystyle Y=Y_{(X_{0},X_{1},X_{2},...X_{n})}}$ sabidamente diferenciável em relação às suas variáveis independentes ${\displaystyle x_{i}}$ , fornece como resultado uma nova equação na qual as derivadas parciais ${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial Y_{(X_{0},X_{1},...X_{n})}}{\partial x_{i}}}}$ associadas, e não as variáveis ${\displaystyle x_{i}}$ em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita", ${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P_{0},P_{1},P_{2},...P_{n})}}$. A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação.^[1]

A Transformada de Legendre e a Termodinâmica

A Transformada de Legendre encontra enorme aplicação em uma área da Física conhecida por Termodinâmica, área que tem por objetivo o estudo dos sistemas constituídos por "infinitos" entes físicos, moléculas em uma amostra confinada de gás, a exemplo.

Equação fundamental e Equação de estado

Em termodinâmica, cada sistema em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por equação fundamental, uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no equilíbrio termodinâmico encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir destas.

As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equação fundamental para a entropia S em um gás ideal será dependente das grandezas volume (V), número de partículas (e não de moles) N, e da Energia Interna U: ${\displaystyle S=S_{(U,V,N)}}$. No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U em ${\displaystyle S_{(U,V,N)}}$ tem-se facilmente ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$, também uma equação fundamental. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo a equação de Clapeyron ${\displaystyle PV=NRT}$ e a equação da energia ${\displaystyle U={\frac {n}{2}}K_{b}T}$ (n= 3; 5; ... ) para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extraídas da equação fundamental.

Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyron ${\displaystyle P_{(V,T,N)}}$ e a da energia ${\displaystyle U=U_{(T)}}$, em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, todas as informações necessárias à determinação de todas as propriedades físicas do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, com ${\displaystyle k_{B}}$ representando a constante de Boltzman e c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta a análise dimensional, não explicitamente indicadas aqui:^[2]

${\displaystyle S_{(U,V,N)}={\frac {3}{2}}Nk_{B}\ln \left({\frac {U}{N}}\right)+Nk_{B}\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nk_{B}c}$ ^[3]

Isolando-se U, tem-se, na representação da energia:

${\displaystyle U_{(S,V,N)}=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}}$

Verifica-se experimentalmente, entretanto, que as grandezas intensivas como a pressão ${\displaystyle P}$ , temperatura ${\displaystyle T}$, e potencial químico ${\displaystyle \mu }$ ( onde ${\displaystyle P=-{\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial V}}}$ , ${\displaystyle \mu ={\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial N}}}$ e ${\displaystyle T={\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}}}$ no formalismo termodinâmico da energia) são muito mais acessíveis por medidas experimentais do que as grandezas extensivas como o volume V, entropia S e número de partículas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situação, principalmente em situações onde uma ou mais destas permaneçam constantes, que a equação fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informação, em função destas grandezas intensivas.

Representações no Formalismo da Energia

A Transformada de Legendre cumpre exatamente o papel na termodinâmica de permitir que se escreva a equação fundamental de um sistema em função das grandezas intensivas (e/ou extensivas) associadas, e não apenas em função das correspondentes extensivas. Em acordo com a grandeza extensiva "transformada" para a intensiva a ela conjugada, dentro do formalismo da energia, a exemplo, surgem várias representações possíveis para a equação fundamental, a saber:

• A energia interna U, onde ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$ : a representação padrão no formalismo da energia.

• A energia livre de Helmholtz F, onde ${\displaystyle F=F_{(T,V,N)}}$: decorre da substituição da grandeza extensiva S em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$ pela correspondente grandeza conjugada, T, mediante F= U-TS , sendo ${\displaystyle F=F_{(T,V,N)}}$ "mais adequada" para o estudo das transformações isotérmicas.

• A entalpia H, onde ${\displaystyle H=H_{(S,P,N)}}$: decorre da substituição da grandeza extensiva V em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$ pela correspondente intensiva, P, mediante H= U+PV , sendo ${\displaystyle H=H_{(S,P,N)}}$ "mais adequada" para o estudo das transformações isobáricas.

• A energia livre de Gibbs G, onde ${\displaystyle G=G_{(T,P,N)}}$: decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e da grandeza extensiva V pela correspondente grandeza conjugada P em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$, mediante G= U-TS+PV , sendo ${\displaystyle G=G_{(T,P,N)}}$ "mais adequada" para o estudo de processos que ocorrem à temperatura e pressão constantes.

• O grande potencial canônico, ${\displaystyle C=C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$, decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e das grandezas extensivas ${\displaystyle N_{i}}$ pelas correspondentes intensivas ${\displaystyle \mu _{i}}$ em ${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$, mediante ${\displaystyle C=U-TS-\Sigma \mu _{i}N_{i}}$ , sendo ${\displaystyle C=C_{(T,V,...,\mu _{i})}}$ "mais adequada" para o estudo de processos onde ocorrem várias substâncias misturadas (N_1, N_2,...) e, mesmo em caso de substância única, trocas de partículas à temperatura constante.

Em função da entropia S ser sempre uma função monótona crescente da energia interna U, a equação fundamental fundamental ${\displaystyle U=U_{(S,V,N)}}$ pode sempre ser "facilmente" reescrita, mediante troca de variáveis, para fornecer a equação, também fundamental, ${\displaystyle S=S_{(U,V,N)}}$, o que, de forma similar ao feito para o formalismo da energia, dá origem ao que se conhece por formalismo termodinâmico da entropia (ou entrópico), igualmente aplicável ao estudo dos sistemas termodinâmicos e capaz de fornecer os mesmos resultados e informações antes obtidos no formalismo da energia. Transformadas de Legendre podem ser igualmente aplicadas à equação fundamental ${\displaystyle S=S_{(U,V,N)}}$ em acordo com o caso em estudo, fornecendo equações fundamentais que nem sempre recebem nomes especiais, sendo estas genericamente conhecidas por funções de Massieu. No formalismo da energia, a energia interna ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$ e suas transformadas são geralmente conhecidas por potenciais termodinâmicos.

A transformada de Legendre

Descrição

O gráfico de uma função, e de sua reta tangente, com inclinação ${\displaystyle f'_{(x)}=P_{(x)}={\frac {\partial f_{(x)}}{\partial x}}}$ no ponto x.

Há duas formas de se especificar a curva vista em vermelho na figura: fornecendo-se diretamente a relação entre Y e X (a exemplo Y=X²), ou especificando-se o conjunto de retas a ela tangentes - vistas em azul na figura. Para definir-se este conjunto de retas especifica-se a relação existente entre o interceptos ${\displaystyle \Psi }$ e as inclinações P das respectivas retas: ${\displaystyle \Psi =-P^{2}/4}$ no exemplo. A transformada de Legendre,quando aplicada a uma das equações, fornece a outra (ou, ao rigor da matemática, menos a outra: ${\displaystyle \Psi =+P^{2}/4}$).

Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação geométrica da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função ${\displaystyle Y_{(X)}}$ dependente de apenas uma variável independente, X.

Sendo ${\displaystyle P={\frac {\partial {Y_{(X)}}}{\partial x}}={\frac {d{Y_{(X)}}}{dx}}}$ no presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função ${\displaystyle Y_{(P)}}$ onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em ${\displaystyle Y_{(X)}}$ mediante a relação estabelecida entre P e X por ${\displaystyle P={\frac {d{Y_{(X)}}}{dx}}}$. Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido ${\displaystyle Y_{(P)}}$, não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial ${\displaystyle Y_{(X)}}$. Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial ${\displaystyle Y_{(X)}}$ é preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicial ${\displaystyle Y_{(X)}}$ partindo-se de ${\displaystyle Y_{(P)}}$, a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta.

A solução para o problema deve ser obtida partindo-se da observação de que qualquer equação ${\displaystyle Y_{(P)}}$ que permita construir a família de retas tangentes a uma dada curva - e não apenas conhecer a inclinação de cada reta tangente em questão - automaticamente determina a própria curva de forma tão boa quanto o faz a equação ${\displaystyle Y_{(X)}}$ da curva.

Para tal, considere a reta tangente à curva ${\displaystyle Y_{(X)}}$ no ponto específico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o ponto ${\displaystyle \psi }$ onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:

${\displaystyle P={\frac {\Delta Y}{\Delta X}}={\frac {Y-\psi }{X-0}}}$

donde tem-se

${\displaystyle \psi =Y-PX}$

Como as expressões ${\displaystyle Y_{(X)}}$ e ${\displaystyle P=P_{(X)}}$ são conhecidas, uma simples álgebra matemática permite a eliminação de X e Y em favor de P e ${\displaystyle \psi }$ na equação acima, o que fornece a procurada relação ${\displaystyle \psi =\psi _{(P)}}$. Esta relação claramente permite a reconstrução de cada uma das retas tangentes com precisão, pois fornecendo-se o valor da inclinação P de uma delas, sabe-se com clareza, então, o ponto ${\displaystyle \psi }$ onde esta reta deve interceptar o eixo Y.

Para recuperar-se a equação original ${\displaystyle Y_{(X)}}$ partindo-se da equação ${\displaystyle \psi _{(P)}}$, basta considerar que a Transformada de Legendre é simétrica, exceto por um sinal de menos na equação de transformação,^[4] à sua inversa. Assim, à parte um sinal de menos a se considerar, sendo T a transformação de Legendre, aplicá-la duas vezes em sequência fornecerá a mesma função inicial (T² = 1).

Em resumo tem-se:

A transformada de Legendre: ${\displaystyle Y_{(X)}<->\psi _{(P)}}$

${\displaystyle Y=Y_{(X)}}$	${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P)}}$
${\displaystyle P={\frac {\partial Y_{(X)}}{\partial X}}}$	${\displaystyle -X={\frac {\partial \psi _{(P)}}{\partial P}}}$
Determinar ${\displaystyle X=X_{(P)}}$ e ${\displaystyle Y=Y_{(P)}}$	Determinar ${\displaystyle P=P_{(X)}}$ e ${\displaystyle \Psi =\Psi _{(X)}}$
${\displaystyle \Psi =-PX+Y}$	${\displaystyle Y=XP+\Psi }$
Eliminação de X e Y fornece ${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P)}}$	Eliminação de P e ${\displaystyle \Psi }$ fornece ${\displaystyle Y=Y_{(X)}}$
${\displaystyle \Psi =\Psi _{(P)}}$	${\displaystyle Y=Y_{(X)}}$

Ao rigor da Matemática ^[5]

Definições

Em matemática, a Transformada de Legendre, em homenagem a Adrien-Marie Legendre, é uma operação que transforma uma função real de variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função ƒ é a função ƒ^∗ definida por:

${\displaystyle f^{\star }(p)=\max _{x}{\bigl (}px-f(x){\bigr )}.}$

Se ƒ é diferenciável, então ƒ^∗(p) pode ser interpretado como o negativo ^[6] do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de ƒ. Em particular, para o valor de x associado ao máximo anterior tem-se a propriedade:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=p.}$

Isto é, a derivada da função ƒ torna-se o argumento da função ƒ^∗. Em particular, se ƒ é convexa (ou côncava para cima), então ƒ^∗ satisfaz a definição de um funcional.

${\displaystyle f^{\star }(f'(x))=xf'(x)-f(x).}$

A Transformada de Legendre é sua própria inversa. Da mesma forma que as transformadas integrais, a Transformada de Legendre pega uma função ƒ(x) e fornece uma função de uma variável diferente p. Entretanto, enquanto as transformadas integrais consistem em integrais com um núcleo, a transformada Legendre usa o processo de maximização como processo de transformação. A transformada de Legendre é especialmente "bem-comportada" se ƒ(x) é uma função convexa.

A Transformada de Legendre é uma aplicação da relação de dualidade entre pontos e linhas. A função especificada por f(x) pode ser igualmente bem representada pelo conjunto de pontos (x, y), ou pelo conjunto de retas tangentes especificadas pelos valores de suas inclinações e pelos seus correspondentes interceptos no eixo coordenado Y.

A transformada de Legendre pode ser generalizada para fornecer a Transformada de Legendre-Fenchel.

A definição de Transformada de Legendre pode ser mais explícita. Para maximizar ${\displaystyle px-f(x)}$ em relação a ${\displaystyle x}$, faz-se a sua derivada igual a zero:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0.\quad \quad (1)}$

Então a expressão é maximizada quando:

${\displaystyle p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ (2)}$

Quando ${\displaystyle f}$ é convexa, isto é seguramente um máximo porque a segunda derivada é negativa:

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2} \over \mathrm {d} x^{2}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0,}$

Em um próximo passo inverte-se (2) para obter-se ${\displaystyle x}$ como função de ${\displaystyle p}$ e leva-se o resultado (1) , o que fornece uma forma mais prática para o uso,

${\displaystyle f^{\star }(p)=p\,\,x(p)-f(x(p)).}$

Esta definição fornece o processo convencional para se calcular a transformada de Legendre de ${\displaystyle f(x)}$: encontre ${\displaystyle p={df \over dx}}$, inverta para ${\displaystyle x}$ e substitua o resultado em ${\displaystyle xp-f(x)}$. Esta definição torna clara a seguinte interpretação: a Transformada de Legendre produz uma nova função, na qual a variável independente ${\displaystyle x}$ é substituída por ${\displaystyle p={df \over dx}}$, o qual é a derivada da função original em respeito a ${\displaystyle x}$.

Consideração importante

Há ainda uma terceira definição para Transformada de Legendre: ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle f^{\star }}$ são ditas transformadas de Legendre uma da outra se suas primeiras derivadas são funções inversas uma da outra:

${\displaystyle Df=\left(Df^{\star }\right)^{-1}.}$

Pode-se ver isto através do cálculo da derivada de ${\displaystyle f^{\star }}$:

${\displaystyle {df^{\star }(p) \over dp}={d \over dp}(xp-f(x))=x+p{dx \over dp}-{df \over dx}{dx \over dp}=x.}$

Combinando-se esta equação com a condição de maximização ter-se-á como resultado o seguinte par de equações recíprocas:

${\displaystyle p={df \over dx}(x),}$

${\displaystyle x={df^{\star } \over dp}(p).}$

Vê-se que ${\displaystyle Df}$ e ${\displaystyle Df^{\star }}$ são inversas, conforme prometido. Elas são unívocas a menos de uma constante aditiva que é fixada pelo requerimento adicional de que:

${\displaystyle f(x)+f^{\star }(p)=x\,p.}$

embora em alguns casos, a exemplo explicito, na termodinâmica e mecânica clássica, um requerimento não padronizado seja utilizado:

${\displaystyle f(x)-f^{\star }(p)=x\,p.}$

O último requisito foi o utilizado em todas as demais seções deste artigo, embora o rigor matemático solicite o primeiro: ao rigor da matemática a Transformada de Legendre é exatamente a sua própria inversa, e encontra-se assim diretamente relacionada à Integração por partes.

Exemplos

Com uma variável

A exemplo, aplicar-se-á a transformada de Legendre à função ${\displaystyle Y_{(X)}=X^{2}}$

Tem-se, seguindo-se os passos da tabela anterior:

Da linha 2:

${\displaystyle P={\frac {\partial Y_{(X)}}{\partial X}}=2X}$

Logo, para a linha 3: ${\displaystyle X={\frac {p}{2}}}$

e ${\displaystyle Y=X^{2}=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}}$

Da linha 4: ${\displaystyle \Psi =-PX+Y}$

Eliminando-se X e Y:

${\displaystyle \Psi =-P\left({\frac {P}{2}}\right)+\left({\frac {P}{2}}\right)^{2}}$

resulta em:

${\displaystyle \Psi ={\frac {-P^{2}}{4}}}$

Assim, a Transformada de Legendre para ${\displaystyle Y_{(X)}=X^{2}}$ é ${\displaystyle \Psi _{(P)}={\frac {-P^{2}}{4}}}$ ^[7]

A transformação inversa ficará a cargo do leitor.

Com duas ou mais variáveis

A título de ilustração calcular-se-á a energia livre de Helmholtz ${\displaystyle F_{(T,V,N)}}$ para um gás ideal partindo-se da equação fundamental para a energia interna ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$.

Conforme antes apresentado (e mantidas as mesmas ressalvas), para um gás monoatômico ideal constituído por N partículas confinadas em um volume V e com uma entropia interna S:

${\displaystyle U_{(S,V,N)}=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}}$

da qual busca-se a energia de Helmholtz F, a ser calculada como:

${\displaystyle F=U-TS}$

mediante substituição da variável S pela sua respectiva conjugada, T.

Pelo formalismo termodinâmico tem-se que:

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}}\right)_{V,N}}$

onde os índices V e N enfatizam que as grandezas volume V e quantidade de partículas N devem ser tratadas como constantes na derivada parcial. Procedendo-se o cálculo da derivada ter-se-á:

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial U_{(S,V,N)}}{\partial S}}\right)_{V,N}={\frac {2}{3k_{B}}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}}$

Isolando-se a entropia como função da temperatura e demais grandezas ter-se-á:

${\displaystyle S={\frac {3Nk_{B}}{2}}\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]+cNk_{B}}$

a ser substituída em

${\displaystyle F=U-TS=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {S}{Nk_{B}}}-c\right)}-TS}$

o que resulta em:

${\displaystyle F=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}e^{{\frac {2}{3}}\left({\frac {{\frac {3Nk_{B}}{2}}\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]+cNk_{B}}{Nk_{B}}}-c\right)}-T\left({\frac {3Nk_{B}}{2}}\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]+cNk_{B}\right)}$

Uma simples inspeção na equação anterior, mesmo sem simplificá-la, permite a conclusão de que a função F já encontra-se dependente apenas das variáveis T, V e N, conforme pretendido.

Procendo com os cálculos, ter-se-á:

${\displaystyle F=N\left({\frac {N}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}-{\frac {3}{2}}Nk_{B}T\ln \left[{\frac {3}{2}}k_{B}T\left({\frac {V}{N}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]-cNk_{B}T}$

o que, com mais algumas simplificações, resulta em:

${\displaystyle F_{(T,V,N)}=Nk_{B}T\ln \left({\frac {N}{V}}\right)-{\frac {3}{2}}Nk_{B}T\ln \left({\frac {3k_{B}T}{2}}\right)+Nk_{B}T\left({\frac {3}{2}}-c\right)}$

que é a Energia Livre de Helmholtz para um gás ideal, uma equação fundamental com exatamente as mesmas informações contidas na equação original para a energia interna.

Novamente termodinâmica, e mecânica clássica

Termodinâmica: tabelas de transformadas

No contexto da termodinâmica, dentre todas as possíveis transformadas de Legendre, as seguintes são particularmente muito frequêntes e importantes:

Transformadas de Legendre na Termodinâmica - Formalismo da Energia - Partindo-se de ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$ tem-se:

${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$
${\displaystyle T={\frac {\partial U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial S}}}$	${\displaystyle -P={\frac {\partial U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial V}}}$	${\displaystyle T={\frac {\partial H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}{\partial S}}}$	${\displaystyle \mu _{i}={\frac {\partial F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial N_{i}}}}$
Determinar ${\displaystyle S=S_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle U=U_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle V=V_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle U=U_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle S=S_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle H=H_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle F=F_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$ e ${\displaystyle N_{i}=N_{i(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$
${\displaystyle F=U-TS}$	${\displaystyle H=U+PV}$	${\displaystyle G=H-TS}$	${\displaystyle C=F-\Sigma \mu _{i}N_{i}}$
Eliminação de U e S fornece:	Eliminação de U e V fornece:	Eliminação de H e S fornece:	Eliminação de F e ${\displaystyle N_{i}}$ fornece:
Energia Livre de Helmholtz F	Entalpia H	Energia livre de Gibbs G	Grande Potencial Canônico C
${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle G=G_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle C=C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$

Transformadas de Legendre em Termodinâmica - Formalismo da Energia - Para chegar-se a ${\displaystyle U_{(S,V,N)}}$ tem-se:

${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle G=G_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle C=C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}$
${\displaystyle -S={\frac {\partial F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}{\partial T}}}$	${\displaystyle V={\frac {\partial H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}{\partial P}}}$	${\displaystyle -S={\frac {\partial G_{(T,P,N_{1},N_{2}...)}}{\partial T}}}$	${\displaystyle -N_{i}={\frac {\partial C_{(T,V,\mu _{1},\mu _{2}...)}}{\partial \mu _{i}}}}$
Determinar ${\displaystyle T=T_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle F=F_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle P=P_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle G=G_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle T=T_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	Determinar ${\displaystyle C=C_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$ e ${\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$
${\displaystyle U=F+TS}$	${\displaystyle U=H-PV}$	${\displaystyle H=G+TS}$	${\displaystyle F=F+\Sigma \mu N_{i}}$
Eliminação de T e F fornece:	Eliminação de P e H fornece:	Eliminação de G e T fornece:	Eliminação de C e ${\displaystyle \mu _{i}}$ fornece:
Energia Interna U	Energia Interna U	Entalpia H	Energia Livre de Helmhotz F
${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle U=U_{(S,V,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle H=H_{(S,P,N_{1},N_{2}...)}}$	${\displaystyle F=F_{(T,V,N_{1},N_{2}...)}}$

Lagrangianas e Hamiltonianos

No contexto da mecânica clássica o princípio de Lagrange^[8] garante que uma função particular, a Lagrangiana do sistema, caracteriza-o completamente no que se refira à sua dinâmica. A Lagrangiana é uma função de 2r variáveis, r coordenadas generalizadas e r velocidades generalizadas, e desempenha em mecânica, de forma similar ao de ${\displaystyle S_{(U,V,N)}}$ na termodinâmica, o papel de equação fundamental para a dinâmica:

${\displaystyle L=L_{(v_{1},v_{2},...,v_{r},q_{1},q_{2},...,q_{r})}}$

Sendo uma equação fundamental, aplicando-se o formalismo da mecânica Lagrangiana pode-se então chegar às equações diferenciais e posteriormente às equações horárias que descrevem toda a dinâmica do sistema em questão.

A transformada de Legendre aplica-se também à Lagrangiana. Neste contexto, o momento generalizado ${\displaystyle P_{k}}$ conjugado à correspondente velocidade ${\displaystyle v_{k}}$ é definido como a deriva parcial da lagrangiana em relação à respectiva velocidade ${\displaystyle v_{k}}$ (k<=r):

${\displaystyle P_{k}={\frac {\partial L_{(v_{1},v_{2},...,v_{r},q_{1},q_{2},...,q_{r})}}{\partial v_{k}}}}$

Caso deseje-se substituir como variáveis independentes todas as velocidades pelos correspondentes momentos, devem-se fazer Transformadas de Legendre em relação a todas as velocidades. Assim, introduz-se uma nova função, chamada Hamiltoniano, definida por:

${\displaystyle (-H)=L-\Sigma _{1}^{r}{P_{k}v_{k}}}$

Um novo formalismo dinâmico, a mecânica hamiltoniana, pode então ser empregada em termos da nova equação fundamental ${\displaystyle H_{(P_{1},P_{2},...P_{r},q_{1},q_{2},...,q_{r})}}$

As hamiltonianas são particularmente importantes no estudo da mecânica quântica.

Exemplo

Oscilador harmônico simples ideal. O estudo deste sistema pode ser feito através do conhecimento de sua Lagrangiana ou de seu Hamiltoniano. Conhecida um destas funções, obtém-se facilmente a outra através da Transformada de Legendre

Inicialmente determinar-se-á a Lagrangiana e posteriormente o Hamiltoniano para um oscilador harmônico unidimensional constituído de uma massa presa em uma das extremidades de a uma mola e apoiada em uma mesa sem atrito.

A Lagrangiana do sistema é definida no contexto da mecânica lagrangiana como a diferença entre a energia cinética T e a energia potencial U do sistema, o que para este presente caso resulta, considerado que só há energia potencial elástica no sistema:

${\displaystyle L_{(x,{\dot {x}})}=T-U={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Nesta equação, ${\displaystyle {\dot {x}}}$ representa a velocidade da partícula associada à coordenada x.

A partir desta equação fundamental pode-se, de posse do formalismo da mecânica lagrangiana e do Princípio de Lagrange, determinar a equação de movimento para a massa.

Para fins de comparação das soluções, a solução no formalismo lagrangiano é apresentado abaixo, partindo-se para tal do Princípio de Lagrange que afirma, sendo

${\displaystyle L=L_{(x_{1},x_{2},...,x_{n},{\dot {x_{1}}},{\dot {x_{2}}},...,{\dot {x_{n}}})}}$ tem-se, com i=1,2,...

que:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}=0}$

Para o problema em questão:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-kx}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}}}$

O que, substituído na equação para o Princípio de Lagrange, fornece:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0}$, que é a equação diferencial para o sistema em estudo.

A solução desta equação diferencial leva a uma função horária cossenoidal para o movimento da massa no oscilador harmônico simples considerado (para a solução, consulte o artigo dedicado).

${\displaystyle X(t)=Acos(kx-\omega t+\phi )}$

onde ${\displaystyle \omega =\left({\frac {k}{m}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Procura-se agora chegar a uma mesma solução através do formalismo da mecânica hamiltoniana.

O Hamiltoniano para o sistema pode ser obtida através da Transformada de Legendre aplicada à Lagrangiana, conforme descrito anteriormente.

Seguindo-se os passos prescritos, o momento generalizado associado à velocidade ${\displaystyle {\dot {x}}}$ é:

${\displaystyle P={\frac {\partial L_{(x,{\dot {x}})}}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}}$

de onde, isolando-se ${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {P}{m}}}$

Determinando-se o Hamiltoniano H através de

${\displaystyle (-H)=L-P{\dot {x}}}$

tem-se, já eliminando-se ${\displaystyle {\dot {x}}}$ em favor de P:

${\displaystyle (-H)={\frac {1}{2}}m\left({\frac {P}{m}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}-P\left({\frac {P}{m}}\right)}$

Resolvendo, chega-se ao Hamiltoniano do sistema, uma equação fundamental que contém igualmente todas as informações necessárias sobre a dinâmica do sistema:

${\displaystyle H_{(P,x)}={\frac {P^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Aplicar-se-á agora o formalismo da mecânica hamiltoniana a fim de se comparar os resultados.

As equações diferenciais de movimento no formalismo de Hamilton são, já adaptadas ao problema unidimensional com variáveis x e P (fez-se q=x para tal):

${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\partial H}{\partial P}}=P/m}$

${\displaystyle -{\dot {P}}={\frac {\partial H}{\partial x}}=kx}$

Da primeira tem-se:

${\displaystyle P=m{\dot {x}}}$ donde

${\displaystyle {\dot {P}}=m{\ddot {x}}}$ para um sistema com massa constante.

Substituindo na segunda:

${\displaystyle -{\dot {P}}=kx=-m{\ddot {x}}}$

e por fim

${\displaystyle kx+m{\ddot {x}}=0}$

que é a mesma equação diferencial antes obtida pelo formalismo lagrangiano, o que leva à mesma solução já apresentada, obviamente.

Ver também

• Joseph-Louis Lagrange

• Transformada integral

• Mecânica hamiltoniana

• Mecânica lagrangiana

• Termodinâmica

Referências

1. A redação da maior parte deste artigo dá-se em acordo com o descrito em Callen, Herbert B. - Thermodynamics and An Introduction to Thermostatics - John Wiley & Sons - ISBN 0-471-86256-8
2. A saber, o expoente em funções exponenciais e o argumento em logaritmos devem ser adimensionais. Para maiores detalhes, consulte a versão anglófona do artigo Gases ideais.
3. Em acordo com Salinas, Sílvio R. A. - Introdução à Física Estatística - EdUSP - 1999 - ISBN 85-314-0386-3
4. O leitor é alertado neste ponto sobre algumas sutilezas na(s) definição(ões) de Transformada de Legendre, devendo o mesmo proceder a leitura da seção Consideração importante para maiores detalhes.
5. Conforme tradução parcial do artigo encontrado na versão anglófona da Wikipédia em 14 de fevereiro de 2010 às 22:58 horas.
6. Em termodinâmica e em várias outras situações não considera-se este sinal, devendo tomar-se algum cuidado quanto ao mesmo, conforme mais adiante explicado no presente texto.
7. Ao rigor da matemática, ${\displaystyle \Psi _{(P)}={\frac {+P^{2}}{4}}}$.
8. Para maiores detalhes sobre os formalismos de Lagrange e de Hamilton consulte Thornton; Marion - Classical Dynamics of Particle and Systems Fourth Edition - Sounders College Publishing, 1995 - ISBN 0-03-097302-3