Zwrot wektora

Zwrot wektora – jedna z podstawowych własności charakteryzujących wektor, obok jego kierunku, długości i (dla wektora zaczepionego) punktu zaczepienia.

Ilustracja wektora

Pojęcie zgodności zwrotu wektorów określa się wśród wektorów o tym samym kierunku. Zwrot jest w zasadzie synonimem strony – dwa wektory o tym samym zwrocie (o zgodnym zwrocie) są skierowane w tę samą stronę, o zwrotach przeciwnych są skierowane w przeciwne strony.

Dla dwóch wektorów o różnych kierunkach lub gdy którykolwiek z nich jest wektorem zerowym, nie można porównać ich zwrotów.

Zmiana znaku współrzędnych wektora swobodnego lub zamiana początku i końca wektora zaczepionego zmienia zwrot wektora na przeciwny.

Definicje formalne

Wprowadza się relację równoważności ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ w zbiorze niezerowych wektorów zwaną relacją zgodności zwrotów:

Dla wektorów zaczepionych

Dwa niezerowe wektory zaczepione są w relacji ${\displaystyle {\mathfrak {R}},}$ gdy po przesunięciu jednego z nich tak, aby ich początki się pokrywały, ich końce będą leżeć na pewnej półprostej o początku identycznym z początkiem obu wektorów^[1].

Dla wektorów swobodnych i ogólniej – dla wektorów przestrzeni liniowej na ciałem ${\displaystyle \mathbb {R} {:}}$

Dwa wektory ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$ mają ten sam zwrot, jeśli ${\displaystyle \mathbf {v} =k\cdot \mathbf {w} }$ dla pewnego ${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,\ \ k>0}$^[2]

W obu przypadkach ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ jest relacją równoważności.
Zwrot wektora zaczepionego jest to ta z jej klas abstrakcji, której reprezentantem jest dany wektor, zwrot wektora swobodnego jest to zwrot jego dowolnego zaczepionego odpowiednika.

O dwóch wektorach należących do tej samej klasy abstrakcji względem relacji ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ mówi się, że mają zgodne (identyczne, te same) zwroty. Wyznaczają one ten sam kierunek.

Wśród wektorów o tym samym kierunku relacja ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ wyznacza dokładnie dwie klasy abstrakcji. O dwóch wektorach wyznaczających ten sam kierunek, ale nie należących do tej samej klasy abstrakcji względem relacji ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ mówi się, że mają przeciwne zwroty.

Związek z kątem między wektorami

Dwa niezerowe wektory o tym samym kierunku (równoległe, czyli w szczególności także leżące na jednej prostej):

• mają zgodne zwroty gdy kąt między wektorami wynosi 0°;
• mają zwroty przeciwne gdy kąt między wektorami wynosi 180°.

Związek z iloczynem skalarnym

Niezerowe wektory o tym samym kierunku:

• mają zgodne zwroty, gdy iloczyn skalarny wektorów jest dodatni;
• mają przeciwne zwroty, gdy jest ujemny.

Ponieważ iloczyn skalarny można zdefiniować bez powoływania się na pojęcie zwrotu wektora, więc można relację ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ dla wektorów swobodnych o tym samym kierunku zdefiniować następująco:

• dwa wektory o tym samym kierunku mają ten sam zwrot, gdy ich iloczyn skalarny jest dodatni.

Można też definicji zgodności zwrotu nie zawężać do wektorów o tym samym kierunku:

• dwa dowolne wektory swobodne mają ten sam kierunek i zwrot, gdy ich iloczyn skalarny jest równy iloczynowi ich długości.

Przykłady zastosowań

Przykłady w fizyce:

• zwrot wektora prędkości ciała, gdy porusza się ono z punktu A do punktu B, jest zgodny ze zwrotem wektora ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ (czyli wektora przemieszczenia).
• zwrot wektorów sił grawitacji, a także dowolnych innych sił przyciągających dwa ciała A,B:
  • zwrot wektora siły działającej na ciało A jest zgodny ze zwrotem wektora ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}},}$
  • zwrot wektora siły działającej na ciało B jest zgodny ze zwrotem wektora ${\displaystyle {\overrightarrow {BA}}.}$

Przykład w matematyce:

• wektor wskazujący kierunek i zwrot najszybszego wzrostu jakiejś wartości skalarnej w danym punkcie. Długość wektora jest proporcjonalna do szybkości zmiany wartości skalarnej. Zbiór takich wektorów tworzy pole wektorowe zwane gradientem. Wektor o przeciwnym zwrocie do wektora gradientu nazywa się często antygradientem.

Przypisy

1. David A. Santos, Multivariable and Vector Calculus (ang.), definicja 5.
2. K. Cegiełka, E. Stachowski, K. Szymański: Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2000, s. 338. ISBN 83-204-2334-1.