Twierdzenie o wartości średniej (rachunek całkowy)

Twierdzenie o wartości średniej – każde z kilku poniższych twierdzeń wiążących wartość całki oznaczonej funkcji całkowalnej (w sensie Riemanna lub Lebesgue’a) na danym zbiorze z pewną wielkością, która spełnia rolę „wartości średniej” funkcji, bądź należy do danego zbioru.

Wszystkie rozpatrywane funkcje są funkcjami rzeczywistymi określonymi na przedziale ${\displaystyle [a,\ b].}$

Pierwsze twierdzenie

Jeżeli funkcja ${\displaystyle f}$ jest ograniczona: ${\displaystyle m\leqslant f(x)\leqslant M,}$ i całkowalna, to istnieje taka liczba ${\displaystyle m\leqslant \mu \leqslant M,}$ że:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\ dx=\mu (b-a).}$

W przypadku gdy funkcja ${\displaystyle f}$ jest ciągła, tezę twierdzenia można wzmocnić następująco:

istnieje punkt ${\displaystyle c\in [a,\ b]}$ taki, że

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\ dx=f(c)(b-a).}$

Intuicyjnie jest jasne, że ze względu na całkę, właśnie ${\displaystyle f(c)}$ jest „średnią” wartością funkcji ${\displaystyle f}$ w przedziale ${\displaystyle [a,\ b].}$

Uogólnienie

Ta wersja dotyczy dwóch funkcji całkowalnych, jeżeli przyjmiemy w nim ${\displaystyle g\equiv 1,}$ to otrzymamy powyższą wersję.

Jeżeli funkcje ${\displaystyle f,g}$ są całkowalne, ${\displaystyle f}$ jest ograniczona: ${\displaystyle m\leqslant f(x)\leqslant M,}$ a ${\displaystyle g}$ zachowuje znak w tym przedziale, to

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx=\mu \int \limits _{a}^{b}~g(x)\ dx.}$

Jak poprzednio, w sytuacji, gdy ${\displaystyle f}$ jest funkcją ciągłą, w tezie twierdzenia można postulować istnienie takiego punktu ${\displaystyle c\in [a,\ b],}$ że:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}~f(x)g(x)\ dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}~g(x)\ dx.}$

Drugie twierdzenie

Twierdzenie to również dotyczy całki z iloczynu dwóch funkcji.

Jeżeli funkcja ${\displaystyle f}$ jest monotonicznie malejąca i nieujemna, a ${\displaystyle g}$ całkowalna, to istnieje taki punkt ${\displaystyle c\in [a,\ b],}$ że:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}~f(x)g(x)\ dx=f(a)\int \limits _{a}^{c}~g(x)\ dx+f(b)\int \limits _{c}^{b}~g(x)\ dx.}$

Najmocniejsza wersja tego twierdzenia pochodzi od japońskiego matematyka Hiroshiego Okamury (1947) i ma następującą postać:

Jeżeli funkcja ${\displaystyle f}$ jest monotonicznie malejąca, a ${\displaystyle g}$ całkowalna, to istnieje taki punkt ${\displaystyle c\in [a,\ b],}$ że:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}~f(x)g(x)\,dx=f(a_{+})\int \limits _{a}^{c}~g(x)\ dx+f(b_{-})\int \limits _{c}^{b}~g(x)\ dx.}$

Przez ${\displaystyle f(x_{+})}$ i ${\displaystyle f(x_{-})}$ rozumiemy tu odpowiednie granice jednostronne funkcji ${\displaystyle f.}$

Zobacz też

• średnia całkowa
• twierdzenie Greena
• twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
• twierdzenie Stokesa

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. II, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.