Twierdzenie Milmana-Pettisa

Twierdzenie Milmana-Pettisa – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że jednostajnie wypukłe przestrzenie Banacha są refleksywne^[1]. Twierdzenie zostało udowodnione niezależnie przez Milmana^[2] i Pettisa^[3]. Inne dowody podali także Kakutani^[4] oraz Ringrose^[5].

Dowód Ringrose’a

Niech ${\displaystyle X}$ będzie jednostajnie wypukłą przestrzenią Banacha włożoną w sposób kanoniczny w drugą przestrzeń sprzężoną ${\displaystyle X^{**}.}$ Niech ${\displaystyle x^{**}}$ będzie elementem ${\displaystyle X^{**}}$ o normie 1. Refleksywność przestrzeni ${\displaystyle X}$ oznacza, że ${\displaystyle x^{**}}$ należy do ${\displaystyle X,}$ co należy wykazać.

Ponieważ kula jednostkowa ${\displaystyle B_{X}}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest domknięta w ${\displaystyle X^{**}}$ wystarczy wykazać, że dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje taki element ${\displaystyle x\in B_{X},}$ że ${\displaystyle \|x^{**}-x\|<\varepsilon .}$ Dla ${\displaystyle \varepsilon >0}$ niech

${\displaystyle \delta =\inf\{\gamma >0\colon \forall w,z\in B_{X}\;\|w-z\|\geqslant \varepsilon \Rightarrow \|{\tfrac {1}{2}}(w+z)\|\leqslant 1-\gamma \}.}$

Ponieważ ${\displaystyle \|x^{**}\|=1,}$ istnieje takie ${\displaystyle f\in X^{*}}$ o normie 1, że

${\displaystyle \langle x^{**},f\rangle >1-{\tfrac {\delta }{2}}.}$

Niech

${\displaystyle V=\{y^{**}\in X^{**}\colon \langle y^{**}-x^{**},f^{*}\rangle <{\frac {\delta }{2}}\}.}$

Wówczas ${\displaystyle V}$ jest zbiorem otwartym w sensie *-słabej topologii w ${\displaystyle X^{**}.}$ Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że istnieje ${\displaystyle x}$ który należy do zbioru ${\displaystyle V\cap B_{X}.}$ Wystarczy zatem wykazać, że ${\displaystyle \|x^{**}-x\|<\varepsilon .}$ Gdyby tak nie było, to zbiór

${\displaystyle W=X^{**}\setminus (x+\varepsilon B_{X^{**}})}$

byłby *-słabo otwarty oraz ${\displaystyle x^{**}}$ byłby jego elementem. Z twierdzenia Goldstine’a wynikałoby, że

${\displaystyle V\cap W\cap B_{X^{**}}\neq \varnothing .}$

Niech zatem ${\displaystyle y}$ będzie dowolnym elementem tego zbioru. Z określenia ${\displaystyle \|y-x\|\geqslant \varepsilon .}$ Z jednostajnej wypukłości wynika zatem, że

${\displaystyle \|{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|\leqslant 1-\delta .}$

Jednak w szczególności ${\displaystyle x,y\in V,}$ a zatem

${\displaystyle \langle x-x^{**},f\rangle ,\langle y-x^{**},f^{*}\rangle <{\frac {\delta }{2}}.}$

Wynika stąd, że

${\displaystyle 2\langle x^{**},f\rangle <{\tfrac {\delta }{2}}+\langle x,f\rangle +{\tfrac {\delta }{2}}+\langle y,f\rangle =\delta +\langle x+y,f\rangle .}$

W konsekwnecji,

${\displaystyle 1-{\tfrac {\delta }{2}}<{\tfrac {\delta }{2}}+\langle {\tfrac {x+y}{2}},f\rangle .}$

Ostatecznie

${\displaystyle 1-\delta <\langle {\tfrac {x+y}{2}},f\rangle \leqslant {\tfrac {1}{2}}\|x+y\|,}$

co prowadzi do sprzeczności z jednostajną wypukłością ${\displaystyle X}$^[6][7].