Przestrzeń jednostajnie wypukła

Przestrzeń jednostajnie wypukła – przestrzeń unormowana ${\displaystyle X}$ spełniająca warunek

${\displaystyle (\forall {\varepsilon >0})(\exists {\delta >0})(\forall {x,y\in X})\left(\|x\|\leqslant 1,\|y\|\leqslant 1,\|x-y\|\geqslant \varepsilon \Rightarrow \|{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|\leqslant 1-\delta \right).}$

Intuicyjnie, przestrzeń jednostajnie wypukła to przestrzeń unormowana, której geometria przypomina geometrię przestrzeni unitarnej. W szczególności każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią jednostajnie wypukłą.

Przykłady

Przestrzenie unitarne

Z tożsamości równoległoboku wynika, ze przestrzenie unitarne są jednostajnie wypukłe. Istotnie, dla ustalonego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ oraz punktów ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ o normach ${\displaystyle \|x\|,\|y\|\leqslant 1}$ spełniony jest warunek

${\displaystyle \|{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|^{2}={\tfrac {1}{2}}\|x\|^{2}+{\tfrac {1}{2}}\|y\|^{2}-{\tfrac {1}{4}}\|x-y\|^{2}\leqslant 1-{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2},}$

skąd wynika, że

${\displaystyle \|{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|\leqslant {\sqrt {1-{\tfrac {1}{4}}\varepsilon ^{2}}}\leqslant 1-{\tfrac {1}{8}}\varepsilon ^{2}.}$

Przestrzenie ${\displaystyle L_{p}}$

James A. Clarkson udowodnił, że dla dowolnego ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ i miary dodatniej ${\displaystyle \mu ,}$ przestrzeń L_p(μ) jest jednostajnie wypukła (w szczególności, przestrzenie ℓ_p są jednostajnie wypukłe dla ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$)^[1].

Prostym przykładem przestrzeni, która nie jest jednostajnie wypukła jest płaszczyzna ${\displaystyle R^{2}}$ z normą

${\displaystyle \|(x,y)\|=\max\{|x|,|y|\}\;\;{\big (}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}{\big )}.}$

Jednostajna wypukłość a refleksywność

Osobny artykuł: Twierdzenie Milmana-Pettisa.

Twierdzenie Milmana-Pettisa orzeka, że każda przestrzeń Banacha jednostajnie wypukła jest refleksywna. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi, gdyż istnieją przestrzenie skończenie wymiarowe (a więc refleksywne), które nie są jednostajnie wypukłe. Co więcej, Day^[2] wykazał, że istnieją refleksywne przestrzenie Banacha na których nie można wprowadzić normy jednostajnie wypukłej, na przykład

${\displaystyle X={\Big (}\bigoplus _{n=1}^{\infty }\ell _{1}^{n}{\Big )}_{\ell _{2}}.}$

Zbieżność

W przestrzeni jednostajnie wypukłej ${\displaystyle X,}$ jeśli ciąg ${\displaystyle (x_{n})}$ punktów tej przestrzeni jest słabo zbieżny do punktu ${\displaystyle x_{0}}$ oraz

${\displaystyle \|x_{n}\|\longrightarrow \|x_{0}\|,}$

to ciąg ${\displaystyle (x_{n})}$ jest zbieżny normowo (do ${\displaystyle x_{0}}$).