Transformacja Z

Transformata Z, transformata Laurenta – jest odpowiednikiem transformaty Laplace’a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Tabela podstawowych transformacji Z.

Rys historyczny

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace’a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku John Ragazzini(inne języki) i Lotfi Zadeh pracując z zagadnieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.

Nazwa tej transformaty może pochodzić od litery „z” jako dyskretnej wersji litery „s”, często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace’a, co wydaje się zasadne, jako że transformata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace’a. Inne możliwe pochodzenie to litery „z” w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh), którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechnie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki, by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace’a, transformata Hartleya itp.).

Nieco później E. I. Jury(inne języki) wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z^[1].

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, którą to datuje się na rok 1730, kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre’a w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta, gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

Definicja

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu ${\displaystyle f^{*}(t)}$ jest nazywana funkcja:

${\displaystyle Z[f^{*}(t)]=Z[f(kT)]=F(z)}$

określona wzorem:

${\displaystyle F(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(kT)z^{-k},}$

gdzie: ${\displaystyle F(z)}$ – transformata oryginału; ${\displaystyle f(kT)}$ – oryginał dyskretny; ${\displaystyle k=1,2,\dots }$

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza; np. dla funkcji ${\displaystyle f(k)=k!}$ lub ${\displaystyle f(k)=e^{ak^{2}}(a>0)}$ nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

Własności

Liniowość

${\displaystyle Z[af_{1}(kT)+bf_{2}(kT)]=aF_{1}(z)+bF_{2}(z).}$

Przesunięcie w dziedzinie czasu

${\displaystyle Z[f(kT+mT)\cdot H(kT)]=z^{m}\left[F(z)-\sum _{n=0}^{m-1}f(nT)z^{-n}\right],}$

gdzie ${\displaystyle m}$ – dowolna dodatnia liczba całkowita; ${\displaystyle H(kT)}$ – funkcja skokowa.

Transformata sumy

${\displaystyle Z\left[g(kT)\right]=Z\left[\ \sum _{n=-\infty }^{k}\ f(nT)\right]={\frac {z}{z-1}}F(z).}$

Transformata różnicy

${\displaystyle Z[f((k+1)T)-f(kT)]=(z-1)F(z)-zf(0).}$

Splot

${\displaystyle Z[f_{1}(n)*f_{2}(n)]=Z[f_{1}(0)\cdot f_{2}(n)+\ldots +f_{1}(k)\cdot f_{2}(n-k)+\ldots +f_{1}(n)\cdot f_{2}(0)]=F_{1}(z)\cdot F_{2}(z).}$

Twierdzenie o wartości początkowej

${\displaystyle \lim _{k\to 0^{+}}f(kT)=\lim _{z\to \infty }F(z).}$

Twierdzenie o wartości końcowej

Jeśli istnieje granica, ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(kT),}$ to ma ona wartość:

${\displaystyle f_{\infty }=\lim _{z\to 1}{\frac {z-1}{z}}F(z).}$

Tabela transformat

W poniższej tabeli przyjęto, że:

• ${\displaystyle u(n)={\begin{cases}1,&n\geqslant 0\\0,&n<0\end{cases}},}$
• ${\displaystyle \delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}.}$

Lp.	${\displaystyle x(n)}$	transformata Z, ${\displaystyle X(z)}$	obszar zbieżności
1	${\displaystyle \delta (n)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$
2	${\displaystyle u(n)}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
3	${\displaystyle a^{n}u(n)}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
4	${\displaystyle na^{n}u(n)}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
5	${\displaystyle -a^{n}u(-n-1)}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
6	${\displaystyle -na^{n}u(-n-1)}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
7	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u(n)}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
8	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u(n)}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
9	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u(n)}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
10	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u(n)}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$

Przykłady

Przykład 1

Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera, ${\displaystyle \delta (n).}$

Rozwiązanie

Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:

${\displaystyle \delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}.}$

Korzystając z definicji otrzymujemy:

${\displaystyle Z[\delta (n)]=\ldots +0\cdot z^{2}+0\cdot z^{1}+1\cdot z^{0}+0\cdot z^{-1}+0\cdot z^{-2}+\dots ,}$

stąd:

${\displaystyle Z[\delta (n)]=1.}$

Przykład 2

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu ${\displaystyle x(n)}$ zdefiniowanego następująco:

${\displaystyle x(n)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{n}}},&{\text{dla }}n\geqslant 0\\0,&{\text{dla }}n<0\end{cases}}.}$

Rozwiązanie

Zauważmy, że ciąg ${\displaystyle x(n)}$ można zapisać za pomocą następującego zwartego wzoru:

${\displaystyle x(n)=u(n)\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}.}$

Zatem:

${\displaystyle Z[x(n)]=\ldots +0\cdot z^{2}+0\cdot z^{1}+1\cdot z^{0}+{\frac {1}{2}}\cdot z^{-1}+{\frac {1}{4}}\cdot z^{-2}+{\frac {1}{8}}\cdot z^{-3}+\ldots }$

${\displaystyle Z[x(n)]=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}z^{-1}\right)^{n}.}$

Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.}$ Szereg jest zbieżny gdy ${\displaystyle |q|<1}$ co oznacza, że:

${\displaystyle |z|>{\frac {1}{2}}.}$

Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej ${\displaystyle z,}$ nierówność ${\displaystyle |z|>{\tfrac {1}{2}}}$ jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$ Gdy ${\displaystyle |z|>{\tfrac {1}{2}},}$ transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:

${\displaystyle Z[x(n)]={\frac {1}{1-q}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}={\frac {z}{z-{\frac {1}{2}}}}.}$

Przykład 3

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu ${\displaystyle x(n)=u(n)a^{n}.}$

Rozwiązanie

Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:

${\displaystyle Z[x(n)]=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a^{n}z^{-n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left(az^{-1}\right)^{n}.}$

Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:

${\displaystyle \left|az^{-1}\right|<1\implies |z|>|a|.}$

Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej ${\displaystyle z,}$ nierówność ${\displaystyle |z|>|a|}$ jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu ${\displaystyle |a|.}$ Gdy ${\displaystyle |z|>|a|,}$ transformata istnieje i jest równa:

${\displaystyle Z[x(n)]={\frac {1}{1-az^{-1}}}={\frac {z}{z-a}}.}$

Przykład 4

Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego ${\displaystyle u(n).}$

Rozwiązanie

Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:

${\displaystyle u(n)=a^{n}u(n),}$ gdzie ${\displaystyle a=1,}$

stąd:

${\displaystyle Z[u(n)]={\frac {z}{z-1}}.}$

Obszar zbieżności jest opisany nierównością ${\displaystyle |z|>1.}$

Powiązanie z transformatą Fouriera

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

${\displaystyle X(z)}$ dla ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Powiązanie z transformatą Laplace’a

Osobny artykuł: Metoda Tustina.

Zobacz też

• transformata z gwiazdką
• zmodyfikowana transformata Z

Inne:

• transformata Fouriera
• transformata Laplace'a

Przypisy

1. Eliahu Ibrahim Jury: Theory and Application of the z-Transform Method. John Wiley & Sons, 1964. Brak numerów stron w książce

Bibliografia

• Jacek Wojciechowski, Sygnały i systemy, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008.
• Michał Tadeusiewicz, Signals and Systems, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004.
• Przemysław Barański, Przekształcenie Z – zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów – zbiór zadań, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.

Kontrola autorytatywna (discrete transform):

• LCCN: sh85149533
• NKC: ph127511
• J9U: 987007534267905171