Spektrum pierścienia

Spektrum pierścienia – dla danego pierścienia przemiennego z jednością ${\displaystyle A,}$ zbiór ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ złożony ze wszystkich ideałów pierwszych w ${\displaystyle A}$ wraz z tzw. topologią Zariskiego, tj. topologią, w której rodziną zbiorów domkniętych jest

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{V(E)\colon E\subseteq A\},}$

przy czym dla dowolnego podzbioru ${\displaystyle E}$ pierścienia ${\displaystyle A}$ symbol ${\displaystyle V(E)}$ oznacza zbiór wszystkich ideałów pierwszych zawierających ${\displaystyle E.}$

Własności

• Punkt w przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ideałem maksymalnym (nie może zawierać się w żadnym innym ideale pierwszym, a każdy ideał maksymalny jest pierwszy). Spektrum pierścienia nie jest więc zazwyczaj przestrzenią T₁, ani tym bardziej przestrzenią Hausdorffa.
• Jeśli punkt ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ należy do domknięcia innego punktu ${\displaystyle y}$ tej przestrzeni, to ${\displaystyle y}$ jako zbiór jest zawarty w ${\displaystyle x}$ (skoro ${\displaystyle x}$ jest elementem ${\displaystyle V(y),}$ to musi zawierać zbiór ${\displaystyle y}$).
• ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ jest przestrzenią T₀.

Struktura zbiorów otwartych w topologii Zariskiego

Z definicji topologii Zariskiego wynika, że rodziną zbiorów otwartych w ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ jest

${\displaystyle \{\mathrm {Spec} (A)\setminus V(E)\colon \;E\subseteq A\},}$

Dla każdego elementu ${\displaystyle f}$ pierścienia ${\displaystyle A}$ niech ${\displaystyle D(f)}$ oznacza dopełnienie w ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ zbioru ${\displaystyle V(\{f\}}$ (będące zbiorem otwartym). Zbiory ${\displaystyle D(f)}$ składają się z tych wszystkich tych ideałów pierwszych pierścienia ${\displaystyle A,}$ które nie zawierają elementu ${\displaystyle f.}$ Ponadto,

• zbiory ${\displaystyle D(f)}$ tworzą bazę otoczeń otwartych topologii Zariskiego.
• zbiór ${\displaystyle D(f)}$ jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy element ${\displaystyle f}$ jest nilpotentny.
• zbiór ${\displaystyle D(f)}$ jest równy ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy element ${\displaystyle f}$ jest jednością w pierścieniu ${\displaystyle A.}$
• przestrzeń ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ jest zwarta, a każdy zbiór ${\displaystyle D(f),}$ jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej, jest podprzestrzenią zwartą przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A).}$
• zbiór otwarty w ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ jest podprzestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy można go przedstawić w postaci sumy skończenie wielu zbiorów postaci ${\displaystyle D(f).}$

Spójność przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$

Składowymi nieprzywiedlnymi przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ są zbiory ${\displaystyle V(\{p\}),}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest minimalnym ideałem pierwszym pierścienia ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ jest przestrzenią nieprzywiedlną wtedy i tylko wtedy, gdy nilradykał pierścienia ${\displaystyle A}$ jest ideałem pierwszym.

Spektrum jako schemat afiniczny

Na przestrzeni topologicznej ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ można zdefiniować snop pierścieni ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathrm {Spec} (A)}.}$ Mianowicie, dla ${\displaystyle f\in A}$ określmy ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathrm {Spec} (A)}(D(f))=A_{f},}$ lokalizacja pierścienia ${\displaystyle A}$ w ${\displaystyle f.}$ Ponieważ dla różnych ${\displaystyle f\in A,}$ zbiory ${\displaystyle D(f)}$ tworzą bazę topologii ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A),}$ oraz dla ${\displaystyle D(g)\subseteq D(f),}$ istnieje naturalne odwzorowanie ${\displaystyle A_{f}\to A_{g},}$ łatwo się przekonać, że to wystarczy do określenia wartości snopa na wszystkich otwartych podzbiorach ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A).}$

Przestrzeń ${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$ wraz z tak określonym snopem ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathrm {Spec} (A)}}$ nazywa się schematem afinicznym powiązanym z pierścieniem ${\displaystyle A.}$ Schematy afiniczne są istotnym elementem konstrukcji ogólnych schematów -- odgrywają podobną rolę do otwartych podzbiorów ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ w konstrukcji rozmaitości topologicznych bądź różniczkowych.

Przykłady

Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem ideałów głównych. Ideałami pierwszymi są w nim ideały postaci ${\displaystyle (p),}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą:

${\displaystyle \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )=\{(0)\}\cup \{(p)\colon p{\text{ -- liczba pierwsza}}\}.}$

Niezerowe ideały pierwsze w tym pierścieniu są ideałami maksymalnymi, czyli każdy punkt ${\displaystyle (p)}$ przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )}$ jest domknięty (punkt ${\displaystyle (0)}$ domknięty nie jest). Ponadto, jeśli ${\displaystyle E}$ jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, to do zbioru ${\displaystyle V(E)}$ należą te i tylko te ideały pierwsze ${\displaystyle (p)}$ (ewentualnie ${\displaystyle (0),}$ gdy ${\displaystyle E\subseteq \{0\}}$), dla których liczba ${\displaystyle p}$ dzieli każdą liczbę ${\displaystyle m}$ należącą do ${\displaystyle E,}$ tj.

${\displaystyle V(E)\subseteq V(m).}$

W szczególności, każdy zbiór ${\displaystyle V(E)}$ jest skończony.

Na odwrót, dla dowolnego skończonego zbioru liczb pierwszych ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$ jeśli ${\displaystyle n}$ jest ich iloczynem, to ${\displaystyle V(n)=\{(p_{1}),\dots ,(p_{k})\}.}$ Stąd wynika, że jedynymi zbiorami domkniętymi w ${\displaystyle \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )}$ są zbiory skończone i zbiór ${\displaystyle \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} ).}$ Dwa zbiory otwarte w ${\displaystyle \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )}$ mają więc nieskończenie wiele punktów wspólnych, a sama przestrzeń jest nieprzywiedlna.

Bibliografia

• M.F. Atiyah, I.G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 22, 23.