Nilradykał

Nilradykał – dla danego pierścienia przemiennego ${\displaystyle A,}$ zbiór wszystkich jego elementów nilpotentnych^[1].

Własności

• Nilradykał jest ideałem, bo jeśli ${\displaystyle a,x,y}$ są takimi elementami pierścienia ${\displaystyle A,}$ że ${\displaystyle x^{n}=0}$ i ${\displaystyle y^{m}=0,}$ to

${\displaystyle (x+y)^{m+n-1}=0}$ i ${\displaystyle (ax)^{n}=0.}$

• Nilradykał jest częścią wspólną wszystkich ideałów pierwszych. Dowód jest oparty na lemacie Kuratowskiego-Zorna^[2].
• Pierścień składa się wyłącznie z jedności i elementów nilpotentnych wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz tego pierścienia przez jego nilradykał jest ciałem.
• Pierścień zawiera dokładnie jeden ideał pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego element nieodwracalny jest nilpotentny.
• Jeżeli każdy ideał pierścienia niezawierający się w nilradykale zawiera element idempotenty, to nilradykał ten jest identyczny z radykałem Jacobsona.

Przykłady

• W pierścieniu wielomianów zmiennych ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ o współczynnikach z pewnego pierścienia ${\displaystyle A}$ nilradykał jest zbiorem tych wielomianów, których wszystkie współczynniki są elementami nilpotentnymi w ${\displaystyle A.}$ W szczególności, twierdzenie to jest prawdziwe dla pierścienia wielomianów jednej zmiennej ${\displaystyle A[X].}$
• W pierścieniu ${\displaystyle Z_{8}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$ reszt modulo 8 jedynym ideałem pierwszym jest ${\displaystyle \{0,2,4,6\}.}$ Jednocześnie jest on nilradykałem, bo w ${\displaystyle Z_{8}}$ mamy ${\displaystyle 2^{3}=0,}$ ${\displaystyle 4^{2}=0}$ i ${\displaystyle 6^{3}=0.}$
• W pierścieniu ${\displaystyle Z_{36}}$ są dwa ideały pierwsze – ideały główne generowane przez reszty 2 i 3. Ich częścią wspólną jest ideał główny ${\displaystyle (6)=\{0,6,12,18,24\},}$ który jest jednocześnie nilradykałem. Z drugiej strony, ideał (6) nie jest ideałem pierwszym, bo nie należy do niego ani 2, ani 3, a ich iloczyn jest równy reszcie 6, która należy do (6).
• W pierścieniu ${\displaystyle Z_{180}}$ ideałami pierwszymi są ideały główne (2), (3) i (5), a nilradykałem jest (30).