Loading AI tools
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Rozumowanie przekątniowe – klasyczny przykład rozumowania w dowodzie nie wprost. Za jego pomocą można wykazać na przykład, że moc zbioru liczb rzeczywistych z przedziału jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych; formułuje się to obrazowo: liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych.
Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem twierdzenie Cantora (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji. |
Ten artykuł od 2021-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Rozumowanie przekątniowe i jego modyfikacje ma znacznie więcej zastosowań, stosowane jest m.in. w logice, topologii, teorii mnogości. Wykorzystywane jest zwykle do konstrukcji obiektów mających, lub nie, określone własności. Po raz pierwszy w dowodzie matematycznym rozumowania przekątniowego użył twórca teorii mnogości Georg Cantor.
Generalnie, jako metoda dowodzenia metoda przekątniowa polega na skonstruowaniu elementu, o którym wiemy, że nie należy do rozpatrywanego zbioru, dzięki czemu możemy wykazać, że pewne założenie o elementach owego zbioru jest nieprawdziwe: w przykładzie poniższym założeniem jest możliwość ponumerowania liczb rzeczywistych z przedziału Metoda przekątniowa jest narzędziem do konstruowania takich właśnie elementów.
Rozumowanie opiera się na następującym fakcie: każda liczba rzeczywista ma swoje rozwinięcie dziesiętne z zerową cyfrą jedności[uwaga 1], skończone lub nie. Jeśli jest ono skończone, to uzupełniamy rozwinięcie o nieskończoną ilość zer tak, by otrzymać rozwinięcie formalnie nieskończone. Jest też odwrotnie – każdy ciąg cyfr po przecinku reprezentuje pewną liczbę rzeczywistą[uwaga 2].
Załóżmy, że możemy ponumerować wszystkie liczby rzeczywiste liczbami naturalnymi, czyli ustawić je w nieskończony ciąg. Na przykład w ten sposób:
Skonstruujemy teraz liczbę rzeczywistą która w powyższym ciągu na pewno nie wystąpi. Mianowicie, kolejne cyfry liczby tworzymy wg zasady:
W naszym przykładzie liczba wyglądałaby tak:
W efekcie liczba rzeczywista od pierwszej liczby ciągu różni (co najmniej) pierwszą cyfrą, od drugiej liczby ciągu różni (co najmniej) drugą cyfrą, ... od k-tej liczby ciągu różni (co najmniej) k-tą cyfrą. Tzn. liczba nie występuje w ciągu, wbrew temu, że ciąg zawierał wszystkie liczby rzeczywiste. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych z przedziału nie są równoliczne.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.