Rozkład jednostajny dyskretny

Rozkład jednostajny dyskretny (nazywany również równomiernym^[1][2]) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa w którym jednakowe prawdopodobieństwo przypisane jest ${\displaystyle n}$ różnym liczbom rzeczywistym ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n},}$ a pozostałym liczbom przypisane jest prawdopodobieństwo równe zero^[2][3].

Rozkład jednostajny dyskretny
(według węższej definicji)

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa n=5 gdzie n=b-a+1
Dystrybuanta Dystrybuanta dyskretnego rozkładu jednostajnego przy n=5
Parametry	${\displaystyle a\in (\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots )}$ ${\displaystyle b\in (\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots )}$ ${\displaystyle n=b-a+1}$
Nośnik	${\displaystyle k\in \{a,a+1,\dots ,b-1,b\}}$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{n}}&{\mbox{dla }}a\leqslant k\leqslant b,\ k\in {\mathbb {Z} }\\0&{\mbox{w przeciwnym wypadku}}\end{matrix}}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{dla }}k<a\\{\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{n}}&{\mbox{dla }}a\leqslant k\leqslant b\\1&{\mbox{dla }}k>b\end{matrix}}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Mediana	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Moda	N/A
Wariancja	${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{12}}}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle 0}$
Kurtoza	${\displaystyle -{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}}$
Entropia	${\displaystyle \ln(n)}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle {\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}}$

Istnieje też wersja ciągła tego rozkładu oraz uogólnienie na dowolne nośniki.

Niektórzy autorzy zakładają dodatkowo^[4][5][6], że ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ są wszystkimi liczbami całkowitymi z pewnego przedziału ${\displaystyle [a,b].}$ Ta wersja rozkładu przedstawiona jest w ramce z prawej strony.

Przykład: Rozkład wyników rzutu jedną kostką.

Zobacz też

• rozkład jednostajny ciągły

Przypisy

1. JanJ. Stankiewicz JanJ., KatarzynaK. Wilczek KatarzynaK., Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej: teoria, przykłady, zadania, Matematyka dla Studentów Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów: Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 2000, s. 141, ISBN 978-83-7199-146-2 [dostęp 2024-02-21].
2. W.W. Krysicki W.W. i inni, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012, s. 81, ISBN 978-83-01-14293-3 (pol.).
3. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Discrete Uniform Distribution [online], Wolfram MathWorld [dostęp 2024-02-22] (ang.).
4. http://prac.im.pwr.wroc.pl/~agniesz/rachunek_prawd_MAT1332/files/RPr_MAP1181_rozklady_probabilistyczne.pdf
5. PlanetMath: uniform (discrete) random variable. planetmath.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2007-12-11)].
6. Discrete Uniform Distribution. mathsrevision.net. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-04-10)].

Encyklopedie internetowe (symmetric probability distribution):

• Britannica: topic/uniform-distribution-statistics