Funkcja tworząca momenty

Funkcja tworząca (generująca) momenty zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ jest zdefiniowana wzorem

${\displaystyle M_{X}(t)={\mathsf {E}}(e^{tX}).}$

Używając teorii związanej z funkcją tworzącą momenty, wyprowadza się wiele oszacowań w rachunku prawdopodobieństwa. Klasyczną nierównością, w której występuje funkcja tworząca momenty, jest nierówność Chernoffa.

Funkcja ${\displaystyle R_{X}(t)=\ln(M_{X}(t))}$ nazywana jest funkcją generującą kumulanty. Kumulanty zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ to wielkości ${\displaystyle \kappa _{n}}$ spełniające własność:

${\displaystyle R_{X}(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}.}$

Własności

Funkcji tworzącej momenty można użyć, by obliczyć dowolny moment zmiennej losowej. Gdy rozwiniemy funkcję tworzącą momenty w szereg Taylora, otrzymamy:

${\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{tX})=1+tE[X]+{\frac {t^{2}E[X^{2}]}{2!}}+{\frac {t^{3}E[X^{3}]}{3!}}+\ldots }$

Jeśli zróżniczkujemy całe wyrażenie ${\displaystyle i}$-krotnie po ${\displaystyle t,}$ i podstawimy ${\displaystyle t=0,}$ otrzymamy ${\displaystyle i}$-ty moment zmiennej losowej ${\displaystyle X.}$

Przykład: Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość oczekiwaną (pierwszy moment) zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ o rozkładzie Poissona z parametrem ${\displaystyle \lambda .}$ Funkcja generująca momenty dla rozkładu Poissona to

${\displaystyle M_{X}(t)=e^{\lambda (e^{t}-1)}.}$

Gdy policzymy pierwszą pochodną po ${\displaystyle t}$ otrzymamy

${\displaystyle M_{X}'(t)=(e^{\lambda (e^{t}-1)})'=\lambda e^{\lambda (e^{t}-1)+t}.}$

Teraz, gdy podstawimy ${\displaystyle t=0}$ otrzymamy:

${\displaystyle \lambda e^{\lambda (e^{t}-1)+t}=\lambda e^{\lambda (e^{0}-1)+0}=\lambda e^{\lambda (1-1)}=\lambda .}$

Inna własność jest następująca: jeśli

${\displaystyle Y=\sum _{k=0}^{n}a_{k}X_{k},}$

jest sumą ${\displaystyle n}$ niezależnych zmiennych losowych (${\displaystyle a}$ to stałe), to funkcją generującą momenty dla ${\displaystyle Y}$ jest:

${\displaystyle M_{Y}=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\dots M_{X_{n}}(a_{n}t).}$

Zobacz też

• funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera)
• funkcja tworząca momenty (transformata Laplace’a)
• funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata)
• kumulanta

Bibliografia

• Rafał Latała: Rachunek prawdopodobieństwa 3. maj 2007.