Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy (w Polsce zwany też rozkładem Bernoulliego, choć w krajach anglojęzycznych termin Bernoulli distribution odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów ${\displaystyle k}$ w ciągu ${\displaystyle N}$ niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu równe ${\displaystyle p.}$ Pojedynczy eksperyment nosi nazwę próby Bernoulliego.

Rozkład dwumianowy

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	${\displaystyle n\geqslant 0}$ liczba prób (liczba całkowita) ${\displaystyle 0\leqslant p\leqslant 1}$ prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)
Nośnik	${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}}$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle np}$
Mediana	jedna z ${\displaystyle \{\lfloor np\rfloor -1,{}}$${\displaystyle \lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}}$
Moda	${\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor }$
Wariancja	${\displaystyle np(1-p)}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}$
Kurtoza	${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}$
Entropia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi nep(1-p))\,{}}$${\displaystyle {}+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}}$
Odkrywca	George Udny Yule (1911)

Innym rozkładem, który opisuje liczbę sukcesów w ciągu ${\displaystyle N}$ prób, jest rozkład hipergeometryczny. W tym przypadku jednak próby nie są niezależne (próba bez zwracania).

Jeśli ${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (n,p)}$ i ${\displaystyle Y\sim \mathrm {B} (m,p)}$ są dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie dwumianowym, wtedy ich suma ${\displaystyle X+Y}$ jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowym danym wzorem:

${\displaystyle B\left(n+m,p\right).}$

W zależności od wartości parametrów rozkład dwumianowy można przybliżać innymi z rozkładów:

• Jeśli zarówno ${\displaystyle np,}$ jak i ${\displaystyle n(1-p)}$ są większe od 5, wtedy rozkład dwumianowy można przybliżać rozkładem normalnym^[1]:

${\displaystyle N\left(np,\sigma ^{2}=np\left(1-p\right)\right),}$ czyli ${\displaystyle N\left(np,\sigma ={\sqrt {np\left(1-p\right)}}\right).}$

• Jeśli ${\displaystyle n}$ jest duże, a ${\displaystyle p}$ jest małe (czyli ${\displaystyle np}$ ma umiarkowanie dużą wartość), dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego jest rozkład Poissona z parametrem ${\displaystyle \lambda =np.}$

Zobacz też

• rozkład Dirichleta
• ujemny rozkład dwumianowy

Przypisy

1. 6.4: Normal Approximation to the Binomial Distribution [online], Statistics LibreTexts, 11 października 2020 [dostęp 2024-06-11] (ang.).

Bibliografia

• Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:

George Udny Yule: An Introduction to the Theory of Statistics. Londyn: Griffin, 1911. Brak numerów stron w książce

Kontrola autorytatywna (pojęcie matematyczne):

• LCCN: sh85014113
• GND: 4145587-3
• NKC: ph249419
• J9U: 987007282570105171
• LNB: 000327257

Encyklopedie internetowe:

• Britannica: topic/binomial-distribution
• SNL: binomisk_fordeling
• DSDE: binomialfordeling