Rozkład chi kwadrat

Rozkład chi kwadrat (zapisywany także jako ${\displaystyle \chi ^{2}}$) – rozkład zmiennej losowej, która jest sumą ${\displaystyle k}$ kwadratów niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Liczbę naturalną ${\displaystyle k}$ nazywa się liczbą stopni swobody rozkładu zmiennej losowej.

Rozkład chi kwadrat

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	${\displaystyle k>0}$ stopni swobody
Nośnik	${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle k}$
Mediana	około ${\displaystyle k-2/3}$
Moda	${\displaystyle k-2\,{\mbox{ dla }}k\geqslant 2}$
Wariancja	${\displaystyle 2\,k}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$
Kurtoza	${\displaystyle 12/k}$
Entropia	${\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))+{}}$ ${\displaystyle {}+(1\!-\!k/2)\psi (k/2)}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}{\mbox{ dla }}2\,t<1}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}}$
Odkrywca	Ronald Fisher

Jeżeli ciąg niezależnych zmiennych losowych ${\displaystyle X_{i}\sim N(0,1)}$ oraz:

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{k}(X_{i})^{2},}$

to:

${\displaystyle Y\sim \chi _{k}^{2},}$

czyli słownie: Zmienna losowa ${\displaystyle Y}$ ma rozkład chi kwadrat o ${\displaystyle k}$ stopniach swobody.

Rozkład chi kwadrat ma duże znaczenie w statystyce, między innymi w teście chi-kwadrat, który wziął od niego swoją nazwę.

Linki zewnętrzne

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu chi kwadrat

• Chi-squared distribution (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].

Kontrola autorytatywna (rozkład gamma):

• GND: 4448035-0

Encyklopedie internetowe:

• БРЭ: 4665157