Rozkład Skellama

Rozkład Skellama – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa różnicy ${\displaystyle n_{1}-n_{2}}$ dwóch statystycznie niezależnych zmiennych losowych ${\displaystyle N_{1}}$ i ${\displaystyle N_{2},}$ z których każdy ma rozkład Poissona z różną wartością oczekiwaną ${\displaystyle \mu _{1}}$ and ${\displaystyle \mu _{2}.}$ Jest to przydatne w opisie statystyk różnicy dwóch obrazów z prostym szumem śrutowym, a także w opisie rozkładów zakładów finansowych w niektórych sportach jak baseball, hokej i piłka nożna.

Rozkład Skellama

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa Przykłady funkcji masy prawdopodobieństwa dla rozkładu Skellama. Osią poziomą jest indeks k. (Zauważmy, że funkcja jest zdefiniowana tylko dla wartości całkowitych k. Linie łączące nie wskazują ciągłości).
Parametry	${\displaystyle \mu _{1}\geqslant 0,~~\mu _{2}\geqslant 0}$
Nośnik	${\displaystyle \{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}}$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}\!+\!\mu _{2})}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k/2}\!\!I_{|k|}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}}$
Mediana	N/A
Wariancja	${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{3/2}}}}$
Kurtoza	${\displaystyle 1/(\mu _{1}+\mu _{2})}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{t}+\mu _{2}e^{-t}}}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{it}+\mu _{2}e^{-it}}}$
Odkrywca	John Gordon Skellam

Rozkład ma również zastosowanie w szczególnym przypadku różnicy zależnych zmiennych losowych Poissona, ale właśnie oczywisty przypadek, gdzie dwie zmienne mają wspólny dodatkowy losowy udział, który jest anulowany przez różnicowanie patrz: Karlis i Ntzoufras (2003), gdzie jest więcej informacji i zastosowanie.

Funkcja masy prawdopodobieństwa dla rozkładu Skellama dla różnicy ${\displaystyle k=n_{1}-n_{2}}$ dwóch zmiennych o rozkładzie Poissona ze środkami ${\displaystyle \mu _{1}}$ i ${\displaystyle \mu _{2}}$ jest dany przez:

${\displaystyle f(k;\mu _{1},\mu _{2})=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k/2}I_{|k|}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}),}$

gdzie ${\displaystyle I_{k}(z)}$ jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju.

Pochodna

Należy zauważyć, że funkcja masy prawdopodobieństwa rozkładu Poissona na ${\displaystyle n}$ ze średnią ${\displaystyle \mu }$ jest dana przez

${\displaystyle f(n;\mu )={\frac {\mu ^{n}}{n!}}e^{-\mu },}$

dla ${\displaystyle n\geqslant 0}$ (i zero w przeciwnym wypadku). Funkcja masy prawdopodobieństwa Skellama dla różnicy ${\displaystyle k=n_{1}-n_{2}}$ jest korelacją wzajemną dwóch rozkładów Poissona^[1]:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(k;\mu _{1},\mu _{2})\\[1ex]={}&\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!f(k\!+\!n;\mu _{1})f(n;\mu _{2})\\={}&e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}}{n!(k+n)!}.\end{aligned}}}$

Ponieważ rozkład Poissona ma zero dla ujemnych wartości indeksu, wszystkie człony z ujemnymi silniami powyższej sumy są ustawione na zero. Można wykazać, że powyższe oznacza, że suma

${\displaystyle {\frac {f(k;\mu _{1},\mu _{2})}{f(-k;\mu _{1},\mu _{2})}}=\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k}}$

tak, aby:

${\displaystyle f(k;\mu _{1},\mu _{2})=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k/2}I_{|k|}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}),}$

gdzie ${\displaystyle I_{k}(z)}$ jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju. Szczególny przypadek dla ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}(=\mu )}$ jest podany przez Irwina (1937):

${\displaystyle f\left(k;\mu ,\mu \right)=e^{-2\mu }I_{|k|}(2\mu ).}$

Należy również zauważyć, że używając granicznych wartości zmodyfikowanej funkcji Bessela dla małych argumentów, możemy odzyskać rozkład Poissona jako szczególny przypadek rozkładu Skellama dla ${\displaystyle \mu _{2}=0.}$

Właściwości

Ponieważ jest to dyskretna funkcja prawdopodobieństwa, funkcja masy prawdopodobieństwa Skellama jest znormalizowana:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k;\mu _{1},\mu _{2})=1.}$

Wiemy, że funkcja tworząca prawdopodobieństwa (ang. probability generating function – pgf) dla rozkładu Poissona jest:

${\displaystyle G\left(t;\mu \right)=e^{\mu (t-1)}.}$

Wynika stąd, że pgf, ${\displaystyle G(t;\mu _{1},\mu _{2})}$ dla funkcji prawdopodobieństwem Skellama będzie:

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(t;\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }f(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k},\\[1ex]={}&G\left(t;\mu _{1}\right)G\left(1/t;\mu _{2}\right),\\[1ex]={}&e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.\end{aligned}}}$

Zauważmy, że postać funkcji tworzącej prawdopodobieństwa pociąga za sobą to sumy lub różnice dowolnej liczby niezależnych zmienny o rozkładzie Skellama mają również rozkład Skellama. Czasami twierdzi się, że każda kombinacja liniowa dwóch zmiennych o rozkładzie Skellama ma również rozkład Skellama, ale wyraźnie nie jest to prawdą, ponieważ jakikolwiek mnożnik różny niż ${\displaystyle \pm 1}$ zmieni nośnik funkcji rozkładu.

Funkcja tworząca momenty jest dana przez:

${\displaystyle {\begin{aligned}&M\left(t;\mu _{1},\mu _{2}\right)\\[1ex]={}&G(e^{t};\mu _{1},\mu _{2}),\\[1ex]={}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\,m_{k},\end{aligned}}}$

który dostarcza surowe momenty ${\displaystyle m_{k}.}$ Zdefiniujmy:

${\displaystyle \Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{1}-\mu _{2},}$

${\displaystyle \mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\mu _{1}+\mu _{2})/2.}$

Wtedy surowe momenty ${\displaystyle m_{k}}$ są

${\displaystyle m_{1}=\Delta ,}$

${\displaystyle m_{2}=2\mu +\Delta ^{2},}$

${\displaystyle m_{3}=\Delta (1+6\mu +\Delta ^{2}).}$

Momenty centralne ${\displaystyle M_{k}}$ są

${\displaystyle M_{2}=2\mu ,}$

${\displaystyle M_{3}=\Delta ,}$

${\displaystyle M_{4}=2\mu +12\mu ^{2}.}$

Wartość oczekiwana (środek), wariancja, skośność i kurtoza są odpowiednio:

${\displaystyle E(n)=\Delta ,}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=2\mu ,}$

${\displaystyle \gamma _{1}=\Delta /(2\mu )^{3/2},}$

${\displaystyle \gamma _{2}=1/2\mu .}$

Funkcja tworząca kumulanty jest dana przez:

${\displaystyle K(t;\mu _{1},\mu _{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu _{1},\mu _{2}))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\,\kappa _{k},}$

która dostarcza kumulanty:

${\displaystyle \kappa _{2k}=2\mu ,}$

${\displaystyle \kappa _{2k+1}=\Delta .}$

W tym szczególnym przypadku ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}}$ ekspansja asymptotyczna zmodyfikowanej funkcji Bessela pierwszego rodzaju dostarcza dla dużych ${\displaystyle \mu }$^[2]:

${\displaystyle f(k;\mu ,\mu )\sim {\frac {1}{\sqrt {4\pi \mu }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\{4k^{2}-1^{2}\}\{4k^{2}-3^{2}\}\ldots \{4k^{2}-(2n-1)^{2}\}}{n!\,2^{3n}\,(2\mu )^{n}}}\right].}$

Również w tym szczególnym przypadku, gdy ${\displaystyle k}$ jest także duże, i rzędu pierwiastka kwadratowego z ${\displaystyle 2\mu ,}$ rozkład zmierza do rozkładu normalnego:

${\displaystyle f(k;\mu ,\mu )\sim {\frac {e^{-k^{2}/4\mu }}{\sqrt {4\pi \mu }}}.}$

Te szczególne wyniki mogą być łatwo rozszerzone na ogólniejsze przypadki innych sposobów.

Przypisy

1. Skellam, 1946.
2. Abramowitz & Stegun 1972, s. 377.

Bibliografia

• Abramowitz M. i Stegun I.A. (Red.) (1972), Modified Bessel functions I and K. Części 9.6–9.7 w: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing, s. 374–378. Nowy Jork: Dover.
• Irwin J.O. (1937), The frequency distribution of the difference between two independent variates following the same Poisson distribution. „Journal of the Royal Statistical Society: Series A”, 100 (3), 415–416.
• Karlis D., Ntzoufras I. (2003), Analysis of sports data using bivariate Poisson models, „Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician)”, 52 (3), 381–393. doi:10.1111/1467-9884.00366
• Karlis D., Ntzoufras I. (2006), Bayesian analysis of the differences of count data, „Statistics in Medicine”, 25, 1885–1905.
• Skellam J.G. (1946), The frequency distribution of the difference between two Poisson variates belonging to different populations. „Journal of the Royal Statistical Society: Series A”, 109 (3), 296.