Równoległość w geometrii hiperbolicznej

Koncepcja równoległości jest oparta na następującym twierdzeniu geometrii absolutnej^[1]:

Dla każdego punktu ${\displaystyle C}$ i każdej prostej ${\displaystyle r}$ nieprzechodzącej przez punkt ${\displaystyle C}$ istnieją dokładnie dwa promienie na płaszczyźnie ${\displaystyle Cr}$ wychodzące z punktu ${\displaystyle C,}$ nieprzecinające prostej ${\displaystyle r}$ i oddzielające wszystkie promienie wychodzące z punktu ${\displaystyle C,}$ przecinające prostą ${\displaystyle r}$ od wszystkich pozostałych promieni, nieprzecinających prostej ${\displaystyle r}$^[a][2].

Zbiór półprostych o początku w punkcie ${\displaystyle C}$ można podzielić na dwa podzbiory: zbiór półprostych przecinających daną prostą ${\displaystyle AB}$ i zbiór półprostych nieprzecinających tej prostej. Półproste równoległe oddzielają te dwa zbiory od siebie i nie przecinają prostej ${\displaystyle AB.}$

O tych dwóch wyżej wspomnianych promieniach mówi się, że są równoległe do prostej ${\displaystyle r}$^[3]. Półproste te nie przecinają prostej ${\displaystyle r.}$ W sytuacji rysunku obok jeden z promieni jest równoległy do prostej ${\displaystyle r=AB}$ w kierunku promienia ${\displaystyle AB}$^[b], a drugi jest równoległy w kierunku promienia ${\displaystyle BA.}$ Wynika stąd, że równoległość promienia do prostej (jest w tej definicji pewna asymetria) można przenieść na równoległość promieni:

Promień ${\displaystyle r}$ jest równoległy do promienia ${\displaystyle s,}$ jeśli jest równoległy do prostej wyznaczonej przez ${\displaystyle s}$ w kierunku ${\displaystyle s}$ lub jeśli jeden z tych promieni jest zawarty w drugim.

W definicji tej brakuje dwóch cech równoległości, które są bardzo ważne: symetrii i przechodniości. Cechy te można udowodnić metodami geometrii absolutnej:

Jeśli promień ${\displaystyle p}$ jest równoległy do promienia ${\displaystyle q,}$ to promień ${\displaystyle q}$ jest równoległy do promienia ${\displaystyle p}$^[4][5].

Jeśli promień ${\displaystyle p}$ jest równoległy do promienia ${\displaystyle q,}$ a promień ${\displaystyle q}$ jest równoległy do promienia ${\displaystyle r,}$ to promień ${\displaystyle p}$ jest równoległy do promienia ${\displaystyle r}$^[6][7].

Drugie z tych twierdzeń można udowodnić metodami geometrii uporządkowania^[c]. Zatem równoległość promieni jest relacją równoważności.

Własność równoległości można też wypowiedzieć dla dwóch prostych. Wynika ona z następującego twierdzenia Gaussa:

Równoległość promienia i prostej zachowuje się, gdy zmienimy położenie początku promienia przez odjęcie lub dodanie jakiegokolwiek odcinka^[8][9].

Chodzi tu o odjęcie lub dodanie do promienia odcinka leżącego na prostej wyznaczonej przez promień o jednym z końców w początku promienia i obu końcach leżących po tej samej stronie prostej. Wynika stąd następująca definicja:

Dwie proste są równoległe jeśli jedna z nich zawiera promień równoległy do drugiej.

Różne wersje hiperbolicznego aksjomatu równoległości

Równoległe do prostej ${\displaystyle AB}$ w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej (prosta – półokrąg prostopadły do absolutu)

Równoległe do prostej ${\displaystyle AB}$ w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej (prosta – prostopadła do absolutu)

1. Dla pewnego punktu ${\displaystyle A}$ i pewnej prostej ${\displaystyle p}$ nieprzechodzącej przez ${\displaystyle A}$ istnieją co najmniej dwie proste równoległe do ${\displaystyle p}$ przechodzące przez ${\displaystyle A}$^[10].
2. Dla każdego punktu ${\displaystyle A}$ i każdej prostej ${\displaystyle p}$ nieprzechodzącej przez ${\displaystyle A}$ istnieją co najmniej dwie proste równoległe do ${\displaystyle p}$ przechodzące przez ${\displaystyle A.}$
3. Istnieją dwa takie promienie równoległe, dla których suma kątów między nimi i odcinkiem łączącym ich początki jest mniejsza od 180°.
4. Dla każdych dwóch promieni równoległych, suma kątów między nimi i odcinkiem łączącym ich początki jest mniejsza od 180°^[11].

Twierdzenia równoważne hiperbolicznemu aksjomatowi równoległości

1. Istnieje trójkąt, którego suma kątów jest mniejsza od 180°^[12].
2. Suma kątów każdego trójkąta jest mniejsza od 180°^[13][14].
3. Jeśli dwa’trójkąty są podobne, to są one przystające^[13][15].
4. Istnieje trójkąt, na którym nie można opisać okręgu^[15][16].
5. Nie w każdym trójkącie wysokości przecinają się w jednym punkcie^[15].
6. Punkty jednej z dwóch prostych równoległych nie są w stałej odległości od drugiej z nich. Ekwidystanta jest krzywą niebędącą prostą^[15].
7. Żadne trzy punkty ekwidystanty nie leżą na jednej prostej^[17].
8. Odległość punktów jednej z dwóch prostych równoległych nie są w ograniczonej odległości od drugiej z nich^[18].
9. Prostopadła i pochyła do danej prostej nie zawsze się przecinają^[15].
10. Nie przez każdy punkt wnętrza kąta można poprowadzić prostą przecinającą oba ramiona kąta^[15].
11. Suma kątów trójkąta nie jest stała^[19].
12. Dwa trójkąty są przystające, jeśli ich odpowiednie kąty są równe^[20].

Z przechodniości relacji równoległości prostych, tzn. z warunku, że jeśli dwie proste są równoległe do trzeciej, to są równoległe, wynika postulat Euklidesa^[d].

Własności prostych i promieni równoległych

Dowód twierdzenia Janosa Bolyai.

• Twierdzenie J. Bolyai’a^[e]: Jeśli dwa promienie równoległe uzna się za przecinające się w nieskończoności, to kąt między nimi można uznać za równy zero.

Niech punktem przecięcia w nieskończoności promieni równoległych będzie punkt ${\displaystyle C_{\infty }.}$ Niech ${\displaystyle \{C_{n}\}}$ będzie takim ciągiem punktów, że ${\displaystyle AC_{k}=C_{k}C_{k+1}.}$ Zatem ${\displaystyle \triangle AC_{k}C_{k+1}}$ jest równoramienny. Wtedy z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta kąt ${\displaystyle \sphericalangle AC_{k+1}C}$ jest mniejszy od połowy kąta ${\displaystyle \alpha _{k}=\sphericalangle AC_{k}C.}$ Jeśli ${\displaystyle n\to \infty ,}$ to ${\displaystyle C_{n}\to C_{\infty },}$ czyli ${\displaystyle \alpha _{n}\to \sphericalangle AC_{\infty }C,}$ a ${\displaystyle \alpha _{n}\to 0.}$ Dlatego można przyjąć, że ${\displaystyle \sphericalangle AC_{\infty }C=0}$^[21].

• Odległości punktów jednej z prostych równoległych od drugiej maleją do zera w kierunku równoległości i nieograniczenie rosną w kierunku przeciwnym^[f][22].
• Równoległość promieni jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią na zbiorze wszystkich promieni geometrii hiperbolicznej. Jest to zatem relacja równoważności.

Zobacz też

• czworokąt Saccheriego
• defekt trójkąta
• kąt równoległości
• model Poincarégo
• prosta pochyła
• prosta zagradzająca kąt
• proste nadrównoległe
• punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej
• trójkąt asymptotyczny
• trójkąt podwójnie asymptotyczny
• trójkąt potrójnie asymptotyczny

Uwagi

1. W geometrii absolutnej dowodzi się, że suma kątów trójkąta jest nie większa od 180°. Wynika stąd, że jeśli suma kątów między odcinkiem ${\displaystyle AC}$ a promieniami poprowadzonymi z jego końców jest równa 180° (na rysunku obok promienie ${\displaystyle CF}$ i ${\displaystyle AE}$), to promień ${\displaystyle CF}$ nie może przeciąć prostej ${\displaystyle AE.}$ Zatem zbiór promieni nieprzecinających prostej ${\displaystyle AE}$ jest niepusty.
2. Promienie mają ten sam kierunek, jeśli leżą w tej samej półpłaszczyźnie wyznaczonej przez prostą przechodzącą przez ich początki.
3. Geometria uporządkowania jest częścią geometrii absolutnej. Coxeter H.S.M., op. cit., s. 193–208.
4. Dowód. Załóżmy, że ℓ, p, q są liniami prostymi, ℓ∥p, p∥q i ℓ∦q. Wówczas ℓ i q mają punkt wspólny A, a więc istnieją dwie różne proste równoległe do p przechodzące przez A, co znaczy, że płaszczyzna jest hiperboliczna.
5. Janos Bolyai. La science absolue de l’espace. „Mémoires de la Société des Sciences de Bordeaux”. 5, s. 207–248, 1867.; Coxeter, op. cit., s. 289; sformułowanie oryginalne dotyczy prostych równoległych.
6. Zapewne z powodu obu powyższych własności J. Bolyai w swoim Appendixie nazywał proste równoległe asymptotami.

Przypisy

1. Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 206–207.
2. Forder H.G.: The Foundations of Euclidean Geometry. New York: 1958, s. 300.
3. Coxeter, op. cit., s. 207.
4. Coxeter H.S.M., op. cit., s. 287.
5. Sommerville D.M.Y.: The Elements of Non-Euclidean Geometry. London: 1929, s. 32.
6. Coxeter H.S.M., op. cit., s. 288.
7. Gauss C.F.: Werke. T. 8. Göttingen: 1900, s. 205–206.
8. Coxeter H.S.M., op. cit., s. 207–208.
9. Gauss C.F., op. cit., s. 203.
10. Coxeter H.S.M., op. cit., s. 310.
11. Janos Bolyai: Appendix. 1832. Brak numerów stron w książce
12. Иовлев Н.Н.: Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. Москва-Ленинград: 1930, s. 13–17.
13. Иовлев Н.Н., op. cit., s. 13–17.
14. Kostin W.: Podstawy geometrii. Warszawa: 1961, s. 219.
15. Kostin, op. cit., s. 219.
16. Иовлев Н.Н., op. cit., s. 20.
17. Широков П.А.: Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. Wyd. 2. Москва: Наука, 1983, s. 34–35.
18. Иовлев Н.Н., op. cit., s. 21.
19. Kostin, op. cit., s. 220–221.
20. Kostin, op. cit., s. 221–222.
21. Inny dowód w Coxeter, op. cit., s. 289.
22. Широков, op. cit., s. 29.

Bibliografia

• Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967. Brak numerów stron w książce
• Forder H.G.: The Foundations of Euclidean Geometry. New York: 1958. Brak numerów stron w książce
• Sommerville D.M.Y.: The Elements of Non-Euclidean Geometry. London: 1929. Brak numerów stron w książce
• Gauss C.F.: Werke. T. 8. Göttingen: 1900. Brak numerów stron w książce
• Иовлев Н.Н.: Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. Москва-Ленинград: 1930. (ros.). Brak numerów stron w książce
• Kostin W.: Podstawy geometrii. Warszawa: 1961. Brak numerów stron w książce
• Широков П.А.: Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. Wyd. 2. Москва: Наука, 1983. Brak numerów stron w książce
• Janos Bolyai. La science absolue de l’espace. „Mémoires de la Société des Sciences de Bordeaux”. 5, s. 207–248, 1867.
• Janos Bolyai: Appendix. 1832. Brak numerów stron w książce