Różnica symetryczna zbiorów
działanie na zbiorach – różnica sumy i przekroju dwóch zbiorów Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Różnica symetryczna zbiorów i – zbiór, do którego należą elementy dokładnie jednego z tych zbiorów[1], czyli zbioru nienależące do zbioru oraz elementy zbioru nienależące do zbioru [2].
To działanie dwuargumentowe oznacza się różnymi symbolami[2][3][4]: oraz [5]. Można je formalnie definiować przez sumę i różnicę zbiorów[2], a także równoważnie, odwołując się też do przekroju:
Pojęcie to pojawiło się najpóźniej w XX wieku; w 1936 roku użył go Marshall Stone[6].
Własności
- Jeśli to
- Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów:
- Zbiór składa się z elementów należących albo do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania[3][4].
- Zbiór potęgowy zbioru z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to:
- jest operacją łączną,
- jest operacją przemienną,
- ma element neutralny – jest nim zbiór pusty: [4],
- ma element odwrotny dla dowolnego zbioru – jest nim sam zbiór gdyż [4].
- Działanie przekroju zbiorów jest rozdzielne względem różnicy symetrycznej[7].
- Z powyższych powodów zestaw tworzy pierścień – łączny, przemienny i z jedynką, w którym dodatkowo dla wszystkich Jest to przykład pierścienia Boole’a.
Różnica symetryczna w logice
Przyjmując, że zdanie logiczne oznacza: „ należy do zbioru ”, natomiast zdanie „ należy do zbioru ” to zdanie można równoważnie zapisać jako gdzie oznacza alternatywę rozłączną.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.