Różnica symetryczna zbiorów

Różnica symetryczna zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ – zbiór, do którego należą elementy dokładnie jednego z tych zbiorów^[1], czyli zbioru ${\displaystyle A}$ nienależące do zbioru ${\displaystyle B}$ oraz elementy zbioru ${\displaystyle B}$ nienależące do zbioru ${\displaystyle A}$^[2].

Diagram Venna dla ${\displaystyle A{\dot {-}}B}$ (różnica symetryczna oznaczona jest kolorem jasnofioletowym)

To działanie dwuargumentowe oznacza się różnymi symbolami^[2][3][4]: ${\displaystyle {\dot {-}},}$ ${\displaystyle \Delta }$ oraz ${\displaystyle \oplus }$^[5]. Można je formalnie definiować przez sumę i różnicę zbiorów^[2], a także równoważnie, odwołując się też do przekroju:

${\displaystyle A{\dot {-}}B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B).}$

Pojęcie to pojawiło się najpóźniej w XX wieku; w 1936 roku użył go Marshall Stone^[6].

Własności

• Jeśli ${\displaystyle A\subseteq B,}$ to ${\displaystyle A{\dot {-}}B=B\setminus A.}$
• Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów:
  • Jeśli ${\displaystyle A\cap B=\emptyset ,}$ to ${\displaystyle A{\dot {-}}B=A\cup B;}$ ogólniej, ${\displaystyle A\cup B=A{\dot {-}}B{\dot {-}}(A\cap B)}$^[3].
  • ${\displaystyle A\setminus B=A{\dot {-}}(A\cap B)}$^[3]
• Zbiór ${\displaystyle A{\dot {-}}(B{\dot {-}}C)}$ składa się z elementów należących albo do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania^[3][4].
• Zbiór potęgowy ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ zbioru ${\displaystyle A}$ z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to:
  • jest operacją łączną,
  • jest operacją przemienną,
  • ma element neutralny – jest nim zbiór pusty: ${\displaystyle A{\dot {-}}\varnothing =A}$^[4],
  • ma element odwrotny dla dowolnego zbioru ${\displaystyle A}$ – jest nim sam zbiór ${\displaystyle A,}$ gdyż ${\displaystyle A{\dot {-}}A=\varnothing }$^[4].
• Działanie przekroju zbiorów jest rozdzielne względem różnicy symetrycznej^[7].
• Z powyższych powodów zestaw ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(A),{\dot {-}},\cap )}$ tworzy pierścień – łączny, przemienny i z jedynką, w którym dodatkowo ${\displaystyle A\cap A=A}$ dla wszystkich ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(A).}$ Jest to przykład pierścienia Boole’a.

Różnica symetryczna w logice

Przyjmując, że zdanie logiczne ${\displaystyle a}$ oznacza: „${\displaystyle x}$ należy do zbioru ${\displaystyle A}$”, natomiast zdanie ${\displaystyle b{:}}$ „${\displaystyle x}$ należy do zbioru ${\displaystyle B}$” to zdanie ${\displaystyle x\in A{\dot {-}}B}$ można równoważnie zapisać jako ${\displaystyle a{\underline {\lor }}b,}$ gdzie ${\displaystyle {\underline {\lor }}}$ oznacza alternatywę rozłączną.

Przypisy

1. różnica symetryczna zbiorów, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-07-07].
2. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 8.
3. Kuratowski 1980 ↓, s. 27.
4. Rasiowa 1975 ↓, s. 30.
5. Ross i Wright 1996 ↓, s. 25.
6. Jeff Miller, Symmetric difference, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-07-07].
7. Symmetric difference of sets (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-07-07].

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Symmetric Difference, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].

Encyklopedie internetowe (działanie dwuargumentowe):

• Catalana: 0228333