Różnica symetryczna zbiorów

działanie na zbiorach – różnica sumy i przekroju dwóch zbiorów Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Różnica symetryczna zbiorów

Różnica symetryczna zbiorów i zbiór, do którego należą elementy dokładnie jednego z tych zbiorów[1], czyli zbioru nienależące do zbioru oraz elementy zbioru nienależące do zbioru [2].

Thumb
Diagram Venna dla (różnica symetryczna oznaczona jest kolorem jasnofioletowym)

To działanie dwuargumentowe oznacza się różnymi symbolami[2][3][4]: oraz [5]. Można je formalnie definiować przez sumę i różnicę zbiorów[2], a także równoważnie, odwołując się też do przekroju:

Pojęcie to pojawiło się najpóźniej w XX wieku; w 1936 roku użył go Marshall Stone[6].

Własności

  • Jeśli to
  • Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów:
    • Jeśli to ogólniej, [3].
    • [3]
  • Zbiór składa się z elementów należących albo do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania[3][4].
  • Zbiór potęgowy zbioru z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to:
  • Działanie przekroju zbiorów jest rozdzielne względem różnicy symetrycznej[7].
  • Z powyższych powodów zestaw tworzy pierścień – łączny, przemienny i z jedynką, w którym dodatkowo dla wszystkich Jest to przykład pierścienia Boole’a.

Różnica symetryczna w logice

Przyjmując, że zdanie logiczne oznacza: „ należy do zbioru ”, natomiast zdanie należy do zbioru ” to zdanie można równoważnie zapisać jako gdzie oznacza alternatywę rozłączną.

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.