Nieliniowość

Nieliniowość – cecha układu polegająca na tym, że wartość wyjściowa nie jest wprost proporcjonalna do danych wejściowych.

W algebrze liniowy operator lub funkcję ${\displaystyle f(x)}$ opisuje się w następujący sposób:

• addytywność, ${\displaystyle f(x+y)\ =f(x)\ +f(y),}$
• homogeniczność, ${\displaystyle f(\alpha x)\ =\alpha f(x).}$

W przypadku niespełnienia powyższych założeń mamy do czynienia z nieliniowością. W przyrodzie większość oddziaływań opisuje się właśnie funkcjami nieliniowymi. Modelowanie rzeczywistości polega jednak na wykorzystaniu jak najprostszych narzędzi matematycznych i często zdarza się opisywać zjawiska nieliniowe funkcjami liniowymi, jak na przykład prawo Hooke’a, gdzie pewien obszar dla stosunkowo małych naprężeń zachowuje się prawie liniowo.

Linearyzacja

Osobny artykuł: Linearyzacja.

Czasami, kiedy nieliniowość utrudnia rozwiązanie problemu, stosuje się linearyzację, czyli sprowadzenie modelu matematycznego do funkcji liniowych. Wykonuje się to na 2 sposoby: przez przybliżanie lub ucinanie członów nieliniowych.

Przykłady linearyzacji

• Wahadło matematyczne opisujące ruch punktu materialnego zawieszonego na lince wyraża się równaniem różniczkowym:${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0,}$ ale gdy przyjmie się pewne przybliżenia, kiedy ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$ dla ${\displaystyle \theta \approx 0,}$ to ostatecznie otrzyma się dobrze znane równanie oscylatora: ${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0.}$
• Rozwijając w szereg Taylora: ${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {x^{3}}{3}}-\dots ,}$ można zakończyć na członie liniowym i wtedy otrzyma się równanie: ${\displaystyle \ln(1+x)=x.}$

Nieliniowość w miarach zależności

Podstawową miarą zależności jest współczynnik korelacji liniowych, który określa miarę liniowych zależności między zmiennymi. W zagadnieniach analitycznych, np. w ekonomii pomija się często zależności nieliniowe i traktuje się jako zaniedbywane.

W przyrodzie bardzo często spotyka się przejawy wzajemnej zależności. Istnieje również wiele innych sposobów na uzależnienie elementów od siebie, które tworzą strukturę-sieć. Przykładem może być łańcuch pokarmowy, który umieszcza organizm w pewnym otoczeniu innych organizmów, z którymi oddziałuje w ten sposób, że może je zjadać, bądź być zjadanym. Badacz tego typu zjawisk musi wykazać się wielką wiedzą i pomysłowością, aby precyzyjnie opisywać nielinowe zależności. Może się on posłużyć takimi miarami jak np. miara manhattan, będącą sumą odległości między zmiennymi w ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni. Aby odtworzyć hierarchię można narysować drzewo minimalnego zasięgu bądź graf z zaznaczonymi ścieżkami między obiektami. Przykładem może być socjogram pokazujący zależności między ludźmi w grupie.

W analizie szeregów czasowych przydają się dodatkowo narzędzia bazujące na fraktalności. Kryzys ekonomiczny roku 2007 spowodował, że zaniedbywane wcześniej przez ekonomistów modele nieliniowe zaczęły cieszyć się popularnością^[1] (klasyczna ekonomia bazuje na liniowych zależnościach, za pomocą których nie da się przewidzieć ani opisać kryzysu na taką skalę, jaką był ten z 2007 r.).

Przypisy

1. Andrzej Buda, Andrzej Jarynowski, Life-time of correlations and its applications, Wydawnictwo Niezależne, Wrocław 2010, http://th.if.uj.edu.pl/~gulakov/life_corr/.

Bibliografia

• J.D. Murray, Wprowadzenie do biomatematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.

Linki zewnętrzne

• Centrum badań nad dynamiką nieliniową w Los Alamos (ang.)