Współczynnik korelacji Pearsona

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona – współczynnik określający poziom zależności liniowej między zmiennymi losowymi. Został opracowany przez Karla Pearsona.

Przykładowe wykresy danych (x, y) i odpowiadające im wartości współczynnika korelacji liniowej Pearsona

Wzory matematyczne

Niech ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ będą zmiennymi losowymi o dyskretnych rozkładach. ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ oznaczają wartości prób losowych tych zmiennych ${\displaystyle (i=1,2,\dots ,n),}$ natomiast ${\displaystyle {\overline {x}},{\overline {y}}}$ – wartości średnie z tych prób, tj.

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},{\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}.}$

Wówczas estymator współczynnika korelacji liniowej definiuje się następująco:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}},}$

${\displaystyle r_{xy}\in [-1,1].}$

Ogólnie współczynnik korelacji liniowej dwóch zmiennych jest ilorazem kowariancji i iloczynu odchyleń standardowych tych zmiennych:

${\displaystyle r_{XY}={\frac {\mathrm {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}.}$

W szczególności dla zmiennych losowych o dyskretnych rozkładach ma on postać

${\displaystyle r_{XY}={\frac {\mathrm {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}P(X=x_{i},Y=y_{j})x_{i}y_{j}\right)-{\overline {X}}\;{\overline {Y}}}{{\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{n}P(X=x_{i})x_{i}^{2}\right)-{\overline {X}}^{2}}}{\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{m}P(Y=y_{i})y_{i}^{2}\right)-{\overline {Y}}^{2}}}}}.}$

Wartość współczynnika korelacji mieści się w przedziale domkniętym [−1, 1]. Im większa jego wartość bezwzględna, tym silniejsza jest zależność liniowa między zmiennymi. ${\displaystyle r_{xy}=0}$ oznacza brak liniowej zależności między cechami, ${\displaystyle r_{xy}=1}$ oznacza dokładną dodatnią liniową zależność między cechami, natomiast ${\displaystyle r_{xy}=-1}$ oznacza dokładną ujemną liniową zależność między cechami, tzn. jeżeli zmienna ${\displaystyle x}$ rośnie, to ${\displaystyle y}$ maleje i na odwrót.

Współczynnik korelacji liniowej można traktować jako znormalizowaną kowariancję. Korelacja przyjmuje zawsze wartości w zakresie [−1, 1], co pozwala uniezależnić analizę od dziedziny badanych zmiennych.

Poziomy korelacji i ich interpretacja

Korelacje	Ujemne	Dodatnie
Słabe	−0,5 do 0,0	0,0 do 0,5
Silne	−1,0 do −0,5	0,5 do 1,0

Korelacje można interpretować jako silne, słabe, ujemne^[1][2]. Interpretacja taka jest jednak arbitralna i nie możemy jej traktować zbyt ściśle. Na przykład współczynnik równy 0,9 dla socjologów i ekonomistów oznacza silną korelację, a dla fizyków posługujących się wysokiej klasy pomiarami przy badaniu praw przyrody oznacza korelację słabą^[2]. Z drugiej strony poziom korelacji ma wpływ na czas życia korelacji^[1].

Ograniczenia stosowalności

• podatny na obserwacje skrajne.
• interpretacja jest oczywista tylko dla wielowymiarowego rozkładu normalnego (jest wtedy estymatorem elementu macierzy współczynników tego rozkładu).

Zobacz też

• korelacja
• współczynnik fi
• współczynnik korelacji
• współczynnik korelacji punktowo-dwuseryjnej
• macierz korelacji
• współczynnik korelacji rang
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki