Izomorfizm porządków

Izomorfizm porządków – pojęcie w matematyce określające funkcję pomiędzy dwoma zbiorami uporządkowanymi pokazującą, że porządki te wyglądają tak samo. Termin ten jest również używany na określenie relacji bycia izomorficznymi porządkami.

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant ),}$ ${\displaystyle (Y,\sqsubseteq )}$ będą porządkami częściowymi. Powiemy, że funkcja ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$ jest izomorfizmem porządków X i Y jeśli spełnione są dwa warunki:

• ${\displaystyle f}$ jest wzajemnie jednoznaczna
• ${\displaystyle \forall _{x,y\in X}(x\leqslant y\iff f(x)\sqsubseteq f(y)).}$

Porządki ${\displaystyle (X,\leqslant ),}$ ${\displaystyle (Y,\sqsubseteq )}$ nazywamy izomorficznymi, gdy istnieje pomiędzy nimi izomorfizm^[1].

Własności

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant ),}$ ${\displaystyle (Y,\sqsubseteq )}$ będą porządkami częściowymi. Jeśli porządki te są izomorficzne, to:

• zbiory ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są równej mocy (ponieważ izomorfizm jest bijekcją)
• porządki ${\displaystyle (X,\leqslant ),}$ ${\displaystyle (Y,\sqsubseteq )}$ mają taki sam diagram Hassego, tzn. muszą mieć taką samą liczbę elementów wyróżnionych: maksymalnych, minimalnych, oba muszą jednocześnie mieć lub nie mogą mieć elementu największego/najmniejszego.

Przykłady

Niech ${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$ oznaczają zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych, odpowiednio, a ${\displaystyle \leqslant }$ niech będzie naturalnym porządkiem.

• Porządki ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leqslant )}$ i ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leqslant )}$ nie są izomorficzne (zbiory ${\displaystyle \mathbb {N} }$ i ${\displaystyle \mathbb {R} }$ są różnej mocy)
• Porządki ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leqslant )}$ i ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leqslant )}$ nie są izomorficzne – co prawda zbiory są równej mocy, lecz zbiór ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ jest gęsty, a ${\displaystyle \mathbb {N} }$ nie.
• Porządki ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leqslant )}$ i ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leqslant )}$ nie są izomorficzne, bo w ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 0 jest elementem najmniejszym, a w ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ nie ma elementu najmniejszego.
• Niech ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leqslant )}$ będzie zbiorem wszystkich liczb pierwszych z naturalnym porządkiem. Wówczas porządki ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leqslant )}$ i ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leqslant )}$ są izomorficzne, a izomorfizmem pomiędzy nimi jest funkcja odwzorowująca liczbę naturalną n na n-tą liczbę pierwszą.