Ideał prymarny

Ideał prymarny – dla danego pierścienia przemiennego ${\displaystyle R}$ ideał ${\displaystyle I}$ o tej własności, że

jeżeli ${\displaystyle ab\in I}$ oraz ${\displaystyle a\notin I,}$ to istnieje taka liczba naturalna ${\displaystyle n,}$ że ${\displaystyle b^{n}\in I.}$

Przykładem ideału prymarnego jest ideał generowany przez element ${\displaystyle p^{n},}$ gdzie ${\displaystyle n}$ jest dowolną liczbą naturalną, a ${\displaystyle p}$ jest elementem pierwszym. W pierścieniu liczb całkowitych wszystkie ideały prymarne są tej postaci (elementami pierwszymi tego pierścienia są po prostu liczby pierwsze). Istnieją mimo to pierścienie, w których ideały prymarne mają także inną postać. Na przykład jeżeli ${\displaystyle k}$ jest ciałem oraz ${\displaystyle k[X,Y]}$ oznacza pierścień wielomianów zmiennych ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y,}$ to ideał generowany przez wielomiany ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y^{2}}$ jest prymarny w ${\displaystyle k[X,Y].}$

Jeżeli ${\displaystyle I}$ jest ideałem, to zbiór ideałów prymarnych ${\displaystyle \{I_{1},\dots ,I_{n}\}}$ nazywany jest rozkładem prymarnym ideału ${\displaystyle I,}$ gdy

${\displaystyle I=I_{1}\cap I_{2}\cap \ldots \cap I_{n}.}$

Własności

• Każdy ideał pierwszy jest prymarny.
• Ideał ${\displaystyle I}$ jest prymarny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy ${\displaystyle R/I}$ nie jest trywialny oraz każdy jego dzielnik zera jest nilpotentny.
• Jeżeli ${\displaystyle I}$ i ${\displaystyle J}$ są ideałami przy czym ${\displaystyle I\subset J,}$ to ${\displaystyle J}$ jest prymarny w ${\displaystyle R}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle J/I}$ jest prymarny w ${\displaystyle R/I.}$
• Jeżeli ${\displaystyle I}$ jest ideałem maksymalnym w pierścieniu lokalnym, to

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }~I^{n}=\{0\}.}$

Twierdzenie Laskera-Noether

Twierdzenie Laskera-Noether mówi, że

każdy ideał pierścienia noetherowskiego ma rozkład prymarny.

Pierścienie, dla których zachodzi teza twierdzenia Laskera-Noether, nazywane są pierścieniami Laskera. Istnieją pierścienie Laskera, które nie są noetherowskie, tzn. rozkład prymarny ideału można przeprowadzić także w pierścieniach innych niż noetherowskie. Powyższe twierdzenie zostało udowodnione w szczególnym przypadku (dla pierścieni wielomianów) w 1905 roku przez Emanuela Laskera^[1] oraz w pełnej ogólności, w 1921 roku, przez Emmy Noether^[2].

Przypisy

1. Emanuel Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Mathematische Annalen, 60 (1905), 19–116.
2. Emmy Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Mathematische Annalen, 83 (1921). 24– 66.

Bibliografia

• Douglas Northcott: Ideal theory. Wyd. 42. Cambridge: Cambridge University Press, 1953, s. 10–52, seria: Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics.
• Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1970. Brak numerów stron w książce