Funkcja regularna

Funkcja regularna – wieloznaczny termin matematyczny, używany w analizie i geometrii algebraicznej^[1].

Analiza rzeczywista

Wykres funkcji ${\displaystyle f(x):=\exp(-1/x),}$ ${\displaystyle x>0,}$ ${\displaystyle f(x):=0,}$ ${\displaystyle x\leqslant 0.}$ W zerze, tj. dla ${\displaystyle x=0,}$ jest gładka (klasy ${\displaystyle C^{\infty }}$), jednak nie jest tam analityczna (klasy ${\displaystyle C^{\omega }}$), ponieważ jej wszystkie pochodne znikają.

Definicja

Funkcja regularna to funkcja różniczkowalna określoną liczbę razy. Dokładniej:

Niech będzie dana funkcja ${\displaystyle f\colon {\mathcal {U}}\to {}\mathbb {R} ,}$ gdzie ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq {}\mathbb {R} ^{n}}$ oraz ${\displaystyle k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}.}$

Funkcję ${\displaystyle f}$ nazywamy funkcją regularną rzędu ${\displaystyle k}$ na ${\displaystyle {\mathcal {U}},}$ jeżeli:

• wszystkie pochodne cząstkowe funkcji ${\displaystyle f}$ do rzędu ${\displaystyle k}$ włącznie istnieją w całej dziedzinie ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$
• pochodne te są ciągłe w całej dziedzinie ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Mówimy też, że funkcja jest klasy ${\displaystyle C^{k}({\mathcal {U}})}$ i piszemy ${\displaystyle f\in C^{k}({\mathcal {U}}).}$

Regularność ${\displaystyle f\in C^{0}}$ oznacza, że funkcja ${\displaystyle f}$ jest ciągła. Funkcję ${\displaystyle f\in C^{\infty }}$ nazywa się funkcją gładką; jest ona dowolnie wysokiej regularności, to znaczy istnieją pochodne wszystkich rzędów^[2][3]. Ponadto dla klasy funkcji analitycznych stosuje się oznaczenie ${\displaystyle C^{\omega }.}$

Niektórzy autorzy używają innych, słabszych definicji. Czasem funkcje regularne definiuje się szerzej – wystarczy, że pochodna funkcji jest ciągła przedziałami, a gładkość to pełna ciągłość pochodnej^[4].

Przykłady

1. Funkcja ${\displaystyle f(x)\!=\!|x|,}$ gdzie ${\displaystyle |x|}$ oznacza wartość bezwzględną, jest ciągła w każdym punkcie dziedziny rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ jednak pochodna ${\displaystyle f'(0)}$ nie istnieje, więc ${\displaystyle f}$ jest klasy ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ).}$
2. Funkcja:
    ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {(1/x)}&{\text{dla }}x\neq 0,\\0&{\text{dla }}x=0\end{cases}}}$
   ma pochodną określoną w całej dziedzinie rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ale pochodna ${\displaystyle f'(0)}$ nie jest ciągła; zatem ${\displaystyle f}$ jest klasy ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ).}$
3. Funkcja ${\displaystyle f(x)=e^{5x}}$ jest różniczkowalna dowolnie wiele razy. Zatem ${\displaystyle f\in C^{\infty },}$ czyli ${\displaystyle f}$ jest gładka.

Analiza zespolona

Funkcja regularna to funkcja analityczna i jednoznaczna na jakimś obszarze^[5][6].

Przypisy

1. Jurkiewicz 1995 ↓, s. 672.
2. Krych 2010 ↓, s. 231.
3. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., C^infty Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-23].
4. Smoluk 2017 ↓, s. 91.
5. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Regular Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-23].
6. Regular function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-23].

Bibliografia

• Jerzy Jurkiewicz: Geometria algebraiczna [w:] Leksykon matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1995. ISBN 83-214-0783-8.
• Michał Krych: Analiza matematyczna dla ekonomistów. Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-235-0776-5.
• Antoni Smoluk: Analiza matematyczna. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-634-3.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Smooth Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-23].