Loading AI tools
twierdzenie analizy harmonicznej Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Twierdzenie Parsevala[1] – tożsamość[2], która wynika z własności unitarności transformacji Fouriera, co nieformalnie można określić, że suma (lub całka) kwadratu funkcji równa się sumie (lub całce) kwadratu jej transformaty. W 1799[3] roku twierdzenie na temat szeregów sformułował Mark-Antoine Parseval, które później zostało zastosowane do szeregu Fouriera.
Chociaż termin „twierdzenie Parsevala” jest często używany aby opisać unitarność dowolnej transformaty Fouriera, zwłaszcza w fizyce i inżynierii. to bardziej właściwym terminem dla tej własności jest twierdzenie Plancherela[4].
Jeżeli funkcje i całkowalne z kwadratem (w sensie miary Lebesgue’a) o wartościach zespolonych nad R, okresowe o okresie zapiszemy za pomocą szeregów Fouriera
oraz
to zachodzi równość
gdzie oznacza jednostkę urojoną a pozioma kreska nad wyrażeniem oznacza sprzężenie zespolone.
Ta postać twierdzenia występuje w literaturze pod nazwą uogólnione twierdzenie Rayleigha, natomiast nazwa twierdzenie Parsevala, zwanego również twierdzeniem o energii dotyczy przypadku szczególnego, w którym za jest podstawione [5].
W fizyce i inżynierii twierdzenie Parsevala często jest zapisywane jako:
gdzie przedstawia ciągłą transformację Fouriera (w unormowanej, unitarnej postaci) z a przedstawia składową częstotliwości (nie pulsację) w
Interpretacja takiego zapisu jest taka, że całkowita energia zawarta w sygnale w całym przedziale czasu jest równa sumie energii składowych uzyskanych z transformacji Fouriera zsumowanych w całym przedziale częstotliwości
Dla sygnałów dyskretnych twierdzenie przyjmuje postać:
gdzie jest dyskretną w czasie transformacją Fouriera (DTFT) z a oznacza pulsację (w radianach na sekundę) w
Alternatywną formą jest postać dla dyskretnej transformacji Fouriera:
gdzie to DFT z oraz obie tablice są o długości
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.