Rozmaitość różniczkowa
rodzaj przestrzeni w matematyce / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Rozmaitość różniczkowa?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Rozmaitość różniczkowa lub rozmaitość różniczkowalna to zbiór, który lokalnie tzn. w otoczeniu każdego punktu wygląda jak (ściślej: jak zbiór otwarty w
), ponadto nie ma kantów. Rozmaitości różniczkowe są podstawowym obiektem badań geometrii różniczkowej.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/Nondifferentiable_atlas.png/320px-Nondifferentiable_atlas.png)
Naturalne przykłady rozmaitości różniczkowych to podzbiory takie jak sfera i torus jednakże rozmaitości różniczkowe nie muszą być podzbiorami
i mogą mieć bardzo złożoną naturę.
Rozmaitość różniczkową definiuje się jako przestrzeń Hausdorffa wyposażoną w zbiór map, które pokrywają całą rozmaitość. Mapy składają się z podzbioru rozmaitości oraz funkcji, która przyporządkowuje punktom tego podzbioru współrzędne. Tę funkcję nazywa się układem współrzędnych. Dopuszcza się istnienia wielu map dla danej rozmaitości, ponieważ w ogólności jedna mapa nie wystarcza do opisania jej w całości. Np. dla sfery nie istnieje (w sensie geometrii różniczkowej) globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy ).
Bardzo ważnym obiektem związanym z rozmaitościami różniczkowymi jest przestrzeń styczna. Przestrzeń styczna do rozmaitości różniczkowej w punkcie to intuicyjnie zbiór wektorów stycznych do rozmaitości w tym punkcie. Geometria różniczkowa formalizuje tę intuicję. Przestrzeń styczna pozwala mówić o wektorach na zbiorach, które nie mają struktury przestrzeni liniowej i umożliwia zdefiniowanie pól wektorowych i tensorowych na rozmaitościach. Poprzez zdefiniowanie form różniczkowych i całki z formy możliwe jest uprawianie rachunku różniczkowego i całkowego na rozmaitościach.
Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w szczególnej i ogólnej teorii względności czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. tensor metryczny).