Współrzędne krzywoliniowe
pojęcie matematyczne / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Współrzędne krzywoliniowe?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Współrzędne krzywoliniowe mogą być określone w przestrzeni euklidesowej o dowolnym, skończonym wymiarze Tworzą one rodzin linii (w ogólnym przypadku linii krzywych) w postaci regularnych siatek przestrzennych (rys. 1).
Najczęściej spotykanymi są współrzędne:
Aby wprowadzić jakieś współrzędne krzywoliniowe, w danej przestrzeni euklidesowej, trzeba podać odpowiednie wzory transformacyjne opisujące sposób przejścia do tych nowych współrzędnych od starych współrzędnych kartezjańskich. Wymaga się przy tym:
(1) aby współrzędnym kartezjańskim punktów przestrzeni odpowiadały unikalne wartości współrzędnych krzywoliniowych. Dlatego wzory transformacyjne muszą być opisane funkcjami wzajemnie jednoznacznymi. Ta bijekcja nie zawsze jest możliwa w całej przestrzeni
(2) aby funkcje transformujące były różniczkowalne dostateczną liczbę razy dzięki czemu staje się możliwe zdefiniowanie bogatszej struktury, np. wprowadzenie lokalnych baz wektorów w każdym punkcie dziedziny, co pozwala na definiowanie pól wektorowych czy też tensorowych i wykonywanie na nich operacji różniczkowania i całkowania.
Nazwa „współrzędne krzywoliniowe” została wprowadzona przez francuskiego matematyka Gabriela Lamé. Formalizm współrzędnych krzywoliniowych został uogólniony na przestrzenie nieeuklidesowe, m.in. przez Riemanna.
W tym artykule zagadnienie współrzędnych krzywoliniowych omówiono na przykładzie przestrzeni 3-wymiarowej, która jest dobrym modelem przestrzeni fizycznej (podobnie omawia to np. [1]). Zaletą takiego podejścia jest to, że podane w nim pojęcia i metody obliczeniowe w sposób naturalny dają się uogólnić na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru. Nieznaczne zaś rozszerzenie formalizmu poprzez dopuszczenie dowolnej postaci tensora metrycznego pozwala łatwo przejść do opisu geometrii nieeuklidesowych.